Вычислите угол между прямой (х+4)/3 = (у— 1 )/2 = (z—3)/4 и плоскостью 2х — Ъу—2z+5 = 0.
Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку М (2; — 1; —4) перпендикулярно прямой (х—3)/2 = (y+2)/4 = (z+5)/3.
Через точку (1; 2; 4) проведена прямая, перпендикулярная плоскости 2x+3y+z—4=0. Вычислите направляющие косинусы этой прямой.
Составьте уравнение перпендикуляра к плоскости 4х — 5у— —z—3=0, проходящего через точку М (— 1; 1; —2).
Найдите точку пересечения прямой (x+3)/2 = (y— l)/3 = (z+5)/2 с плоскостью 2x+3y+z—22=0.
Составьте уравнения перпендикуляра к плоскости х—Зу + +2z—26=0, проходящего через точку ( — 2; 2; —4). Найдите координаты основания этого перпендикуляра.
Проверьте, что прямая (х —1)/(—2) = (у—4)/( — 3) = (z+1)/3 параллельна плоскости 3x—5y—3z—4=0.
Проверьте, что прямая (х-l)/2 = (y + 3)/(-l) = (z-4)/5 лежит в плоскости Зх—4у —2z—7 = 0.
Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую
Г 2x—4y+5z+5 = 0,
\2x—y + 2z—l=0
и точку М (3; 2; 1).
§ 4. Смешанные задачи
Составьте канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М(—2; 2; —3) параллельно вектору Я=(2; -4; 5).
Составьте канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М (1; 2; 3), если направляющий вектор q прямой образует с координатными осями Ох, Оу, Oz углы <х = 2п/3, Р = к/3, у = п/4.
Вычислите угол между прямыми (х—3)/1 =(у+ 2)/(— 1) = z/x/2~
и (х+2)/1 = 0-3)/1=(г+5)Л/2.
Составьте уравнения плоскости, проходящей через ось Oz и точку а (1; —2; 1).
Составьте уравнение плоскости, если точка м(2;—1;2) служит основанием перпендикуляра, опущенного на эту плоскость из начала координат.
Найдите проекцию точки М (5; 2; —1) на плоскость 2х—у+ + 3z + 23 = 0.
Вычислите угол между прямой (л:— l)/4=j^/12 = (z—1)/( — 3) и плоскостью 6x — 3y—2z=0.
Найдите точку пересечения прямой (х— 12)/4 = (у—9)/3 = = (z— 1)/1 и плоскости Зх+5у—z — 2 = 0.
ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА
вариант II вариант
Составьте канонические и па- 1) Составьте канонические и параметрические уравнения прямой, про- раметрические уравнения прямой, про-
ходящей через точк^ А (2; —3; 4) параллельно вектору q = (— 1; 4; — 2).
Составьте уравнение плоскости, проходящей через точки А (1; 2; 1) и В (0; 3; 4) и перпендикулярной плоскости x+2y—z—0.
Вычислите угол между прямой (*-5)/2=(y+l)/(-2)=z/(-l) и плоскостью 2х-\-у—2z+5=0.
ходящей через точки А (1; 3; —5) и В (4; — 1; 2).
Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку М (—2;Л^ 2) параллельно^ двум векторам а= = — Т+ 2j—Ък и b = 5l—j+k.
Найдите точку пересечения прямой (jc— 1)/3=(у+2)/4=(z—3)/(—2) и плоскости 2х—y + 3z—1=0.
Глава 23 многогранники и площади их поверхностей
§ 1. Призма
Какое число граней, вершин, ребер и боковых ребер имеют треугольная, четырехугольная и шестиугольная призмы?
Сколько плоских, двугранных и трехгранных углов имеют треугольная, четырехугольная, шестиугольная и «-угольная призмы?
Сколько диагоналей имеют треугольная, четырехугольная, шестиугольная и «-угольная призмы?
1) Сколько диагональных сечений можно провести через одно боковое ребро в треугольной, четырехугольной, шестиугольной и 72- угольной призме?
Сколько диагональных сечений можно провести через все боковые ребра в четырехугольной, шестиугольной и «-угольной призме?
Чему равна сумма всех плоских углов треугольной, четырехугольной, шестиугольной и «-угольной призмы?
Докажите, что сечение, перпендикулярное боковому ребру призмы, перпендикулярно каждой ее боковой грани.
Докажите, что число ребер призмы кратно трем.
Чему равна сумма всех двугранных углов, образованных боковыми гранями прямых призм: треугольной, четырехугольной, шестиугольной, л-угольной?
Докажите, что углы наклона всех боковых ребер призмы к плоскости ее основания равны.
Докажите, что в наклонной треугольной призме расстояние от бокового ребра до противоположной грани равно высоте треугольника, который служит перпендикулярным сечением призмы.
В правильной шестиугольной призме сторона основания равна т, а боковые грани—квадраты. Найдите диагонали призмы и площади диагональных сечений.
В правильной треугольной призме каждое ребро равно а. Через сторону основания и середину оси проведена плоскость. Вычислите площадь сечения.
В правильной четырехугольной призме диагональ основания равна т, а диагональ боковой грани равна л. Вычислите диагональ призмы.
Дана правильная четырехуголшая призма, сторона основания которой раййа а и высота h. Вычислить кратчайшее расстояние от стороны основания до непересекающей ее диагонали призмы.
О Прямые
АВ
и DBi—скрещивающиеся.
Ортогональная проекция двух
скрещивающихся прямых на плоскость,
перпендикулярную одной из них,
изображается прямой и точкой. Расстояние
между этой прямой и точкой равно
расстоянию между скрещивающимися
прямыми (рис. 166). Спроецировав прямые
АВ
и DBt
на
грань AAyDiD,
получим
точку A
= wpAA
D DAB
и
AtD
= npAA
d
dDB^
Расстояние
между АВ
и DBi
равно
расстоянию от точки А
до т. е. высоте АК
прямоугольного треугольника AAXD:
ADAAi
ah
АК=-
Аф
В правильной четырехугольной призме диагональ наклонена к боковой грани под углом 30°. Вычислите угол наклона ее к основанию.
В правильной треугольной призме сторона основания равна 12 см, а боковое ребро равно 10^/J см. Вычислите площадь сечения, проходящего через боковое ребро перпендикулярно противоположной грани.
В прямой треугольной призме стороны оснований равны 13, 20 и 21 см, а высота призмы равна 25 см. Вычислите площадь сечения, проведенного через боковое ребро и меньшую высоту основания.
Основанием прямой призмы служит ромб; диагонали призмы и высота соответственно равны 8, 5 и 2 см. Вычислите сторону основания призмы.
Вычислите длину диагонали прямоугольного параллелепипеда с измерениями: 1) 12, 16, 21; 2) 2, 4, 6.
Вычислите диагонали прямого параллелепипеда, каждое ребро которого равно а, а угол в основании равен 60°.
В прямом параллелепипеде все диагонали равны. Докажите, что данный параллелепипед является прямоугольным.
Найдите зависимость между ребром куба а и его диагональю d.
Найдите зависимость между диагональю куба d и диагональю его грани dx.
Вычислите угол между диагональю куба и его основанием.
Вычислите острый угол между диагоналями куба.
Какой длины нужно взять проволоку для изготовления каркаса куба со всеми его диагоналями, если ребро куба равно
см?
Ребро куба равно а. Найдите кратчайшее расстояние от диагонали до не пересекающего ее ребра.
?8. Найдите расстояние от вершины куба до его диагонали.
Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если диагонали его граней соответственно равны И, 19 и 20.
В прямом параллелепипеде диагонали образуют с Плоскостью основания углы 45 и 60°. Стороны основания равны 17 и 31 см. Вычислите диагонали этого параллелепипеда.
Вычислите площади диагональных сечений прямоугольного параллелепипеда, стороны основания которого равны а и Ь, а высота равна А.
Грани параллелепипеда—равные ромбы со стороной а и углом 60°. Вычислите площади его диагональных сечений.
Можно ли куб пересечь плоскостью так, чтобы в сечении получился треугольник: 1) разносторонний; 2) равнобедренный;
равносторонний; 4) прямоугольный?
Ребро куба равно а. Вычислите площадь диагонального сечения.
Дан куб ABCDAiBiCiDi. Через середины трех его ребер AiBu AiDi и CD проведена плоскость. Докажите, что в сечении получится правильный шестиугольник. Найдите площадь сечения, если ребро куба равно а.
. 36. Ребро куба равно а. Найдите площадь сечения куба плоскостью, проведенной через середины трех ребер, выходящих из одной вершины.
Вычислите периметр и площадь сечения, проходящего через концы трех ребер, выходящих из вершины куба. Ребро куба равно а,
В треугольной наклонной призме расстояния между боковыми ребрами равны 20, 34 и 42 см. Найдите расстояние между большей боковой гранью и противоположным ей боковым ребром.
Основанием наклонного параллелепипеда служит ромб ABCD,
в котором BAD = 60°; боковые ребра наклонены к плоскости
основания под углом 60° и плоскость АА\С\С перпендикулярна плоскости основания. Докажите, что площади сечений BB^DiD и AAiCiC относятся, как 2:3.
Основание наклонного параллелепипеда—квадрат со стороной а, одна из вершин другого основания проецируется в центр этого квадрата; высота параллелепипеда равна Я. Найдите угол наклона бокового ребра к плоскости основания.
В основании наклонного параллелепипеда лежит ромб. Одно из боковых ребер образует с прилежащими сторонами основания равные углы. Докажите, что вершина параллелепипеда, лежащая на этом ребре, проецируется на плоскость основания в точку, которая лежит на диагонали основания.