19. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через начало координат и точку а (2; —3; —2).

О За направляющий вектор примем вектор q=(2; — 3; —2). Используя формулы (22.8), получим jt=2+21, у = —3 — 3/, z = —2—2t. ф

19. Составить уравнения прямой, проходящей через точки а (1; —2; — 1) и в (3; 0; 4).

О По формулам (22.10) получим (*~ l)/(3 — l)=(>^;+2)/(0+2)=(z+1)/(4+1), или (x-\)/2 = (y+2)/2 = (z+\)/5. •

19. Вычислить углы, образуемые прямой (х—2)/3 = (>>+3)/2 = = (z —1)/6 с координатными осями.

О По формулам (22.12) получим:

3 2 6

cosа= ± = + -, cosB= + -, cosу= ± ф

У3² + 2² + 6² ”7 7 7

19. Вычислить острый угол между двумя прямыми (х— 3)/2 = =0>-l)/l=(z+4)/2 и (.x+l)/12=(y+3)/3=(z-2)/4.

О Полагая в равенстве (22.15) mi =2, Wi = l, pi=2 и т₂ —12, «2 = 3, р₂=4, находим

• 12+1 -3 + 2-4 _

cos ф=-—==—-==0,897; ср = 26°,2. •

V2² + l² + 2² •_>/12² + 3²+4²

19. Составьте уравнения прямой: 1)^ проходящей через точку Afо (3; 0; —2) и параллельной вектору ^=(2; 1; 1); 2) проходящей через точку М₀ (1;0; —2) и параллельной вектору q = (2; 1; 0).

20. Составьте уравнения прямой, параллельной оси Oz и проходящей через точку м(2; — 1; 3).

21. Как расположена прямая относительно координатных осей, если она имеет направляющий вектор: а) ^=(0; 0; 1); б) <7=(0; 1; 0); в) д=(1; 0; 0)?

22. Составьте уравнения прямой, проходящей через точку А (2; —3; —1) и параллельной прямой (jc—4)/4= (у+ l)/3 = (z+3)/2.

23. Составьте параметрическое уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку м (1; 4; —3).

24. Составьте уравнения прямой, проходящей через точки л(-2; -1; -3) и в (0; 2; 1).

25. Вычислите углы, образуемые прямой (х— 1)/4 = (у—4)/3 = = (z + 2)/12 с координатными осями.

26. Докажите, что прямые (х—1)/(—2) = (y-f2)/3 = z/(—4) и (х+2)/5 = (у—l)/6 = (z—5)/2 взаимно перпендикулярны.

27. Вычислите острый угол между двумя прямыми (х—1)/3 = = О+4)/(-2) = (z-2)/4 и (х+3)/2 = (у— 1 )/3 = (z +1)/(—2).

§ 3. Плоскость и прямая

/ьг

Угол ф между прямбй

(х - а)/т=(у - b)/n=(z - с)/р (*)

И плоскостью

Ax+By + Cz+D = 0 (**)

вычисляется по формуле

\Ат + Вп + Ср\

sin ф=—— —— —. (22.16)

у/А²+В² + С² ■ ^/т²+п²+р²

Условие параллельности прямой (*) и плоскости (**) записывается в

виде

Ат + Вп + Ср = 0, (22.17)

а условие перпендикулярности—в виде

А/т = В1п = С1р. (22.18)

Условия, при которых прямая (*) принадлежит плоскости (**), имеют

вид

1^А,^а+В^ ^{+ С}г⁺Т^0, (²²-¹⁹>

[Лт+Вп + Ср = 0.

Уравнение пучка плоскостей, проходящих через данную прямую Г А\Х+Biy+ C\Z-\-D\ =0,

А 2Х+В₂у + C₂z+D₂ = 0,

имеет вид

A Biy-\- C\Z-\-D\ + X (А₂х-\- В₂у-\- C₂z-\- D₂)=§, (22.20)

где X—любое действительное число.

19. Вычислить угол между прямой (х—2)/3 = (у + l)/4 = (z—3)/2 и плоскостью х+2у—3z+4=0.

О Воспользуемся формулой (22.16). Так как А = 1, В=2, С=—3, т = 3, п=4, р=2, то

,._т_ I.-3+2 ₄₊(-3)-2|

Vl^, + 2^!+(-3)^,v'3'+⁴ +²’

19. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М (— 1; 2; —3) перпендикулярно прямой (jc+2)/4 = (y— l)/3 = (z + 3)/2.

О Очевидно, что в качестве нормального вектора п искомой плоскости можно взять параллельный ему направляющий вектор q=(4; 3; 2) данной прямой. Остается воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через данную точку М перпендикулярно вектору q:

4(х+1) + 3(у—2) + 2(z+3) = 0, или 4x+3y+2z+4=0. ф

19. Через точку М (1; 3; 2) провести прямую, перпендикулярную плоскости x-2y-\-2z — 3 = 0. Вычислить направляющие косинусы этой прямой.

О Примем за направляющий вектор искомой прямой параллельный ему нормальный вектор #Г=(1; —2; 2) данной плоскости. Зная точку М (1; 3; 2), через которую проходит прямая, и направляющий вектор этой прямой, запишем ее канонические уравнения: (х—1)/1 =(у—3)/(—2)=(z—2)/2. Направляющие косинусы прямой находим по формулам (22.12):

112 2

cosa= + - - = + cos R = + -, cos у = + - #

_у/₁2_+{_₂₎2₊₁2 -3 -3 -3

19. Найти точку пересечения прямой (х—2)/4 = (у — 3)/2 = (z+l)/5 с плоскостью х+2у—3z—4 = 0.

О Запишем уравнения прямой в параметрической форме. Полагая (х—2)/4 = (у—3)/2 = (z +1)/5 = /, получим: х=2 + 4/; >>=3 + 2/; z = — 14-5/. Под­ставив найденные значения х, у, z в уравнение плоскости, имеем

24-4/4-2(3 + 2/) — 3(— 1 +5/) -4=0,

откуда /= 1. Подставим значение /=1 в параметрические уравнения прямой; тогда получим: х=6, у=5, z=4. Итак, (6; 5; 4)—искомая точка пересечения прямой и плоскости, ф

19. Убедиться в том, что прямая (jc—2)/4=(у+4)/3 = (z—1)/(—2) параллельна плоскости 5л:—2y + 7z + 3 = 0.

О Используя условие (22.17) параллельности прямой и плоскости, по­лучим 5-4+(—2)-3 + 7-(—2) = 0, т. е. прямая и плоскость параллельны, ф

19. Проверить, что прямая (jc—3)/4=(у— l)/2 = (z+2)/3 лежит в плоскости 2х—у—2z—9 = 0.

О Используя условия (22.19) при я=3, b= 1, с=— 2, т=4, п = 2, р=3, А = 2, В= — 1, С = —2, D=—9, находим

2-3 + (—1) -1+ (—2)-(—2) —9=0; 2-4+ (—1)2+ (—2)3=0.

Следовательно, прямая лежит в плоскости, ф

4Л. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую Г 2х+у — 3z+4 = 0,

{ x-y+z+3=0

и точку М(2; 1; —1).

О Используя равенство (22.20), запишем уравнение пучка плоскостей, проходящих через данную прямую:

2x+y-3z+4+\(x—y+z+3) = 0. (*)

Так как координаты точки М должны удовлетворять уравнению плоскости, то, подставив в соотношение (*) х=2, у= 1, z= —1, имеем

2-2+1 — 3( — 1) +4+Я (2 — 1 — 1 + 3) = 0, или 12 + ЗХ = 0,

откуда Я, = —4. Подставляя теперь в соотношение (*) найденное значение X, получим 2х—5^+7z+8 = 0. ф