§ 2. Прямая в пространстве

1. Уравнения прямой в пространстве. Уравнение прямой, проходящей через данную точку М₀ (х₀; уо', z₀) параллельно вектору q=(m; п\ р\ имеет вид

r=r₀ + tq * (22.7)

и называется векторно-параметрическим уравнением прямой. Здесь г —ради- ус-вектор любой точки М (х; у; z) прямой (рис. 165); г₀—радиус-вектор точки ЛГ₀ (х₀; уо‘, z₀), a t—параметр, принимающий всевозможные дейс­твительные значения. Вектор q называется направ­ляющим вектором прямой, а его координаты (т. е, числа т, п, р)—направляющими коэффициентами прямой.

Если в уравнении (22.7) перейти к координатам векторов, то получаются параметрические уравне­ния прямой:

x=x₀ + tm, y=yo+nt, z=z₀+pt. (22.8)

Если исключить из уравнений (22.8) параметр и то получаются канонические уравнения прямой:

(х - х₀)/т=(у-у₀)/п = (z-z₀)/p. (22.9)

Уравнения прямой, проходящей через две точки Mi (хь Уи Zi) и М₂ (х₂; у₂; z₂) имеют вид

(x-xi)/(jc₂-j£i)=(y-yi)/()’2-J'i)=(z-Zi)/(z2-zi). (22.10)

Прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей, т. е. прямая определяется совместным заданием еиодемы двух линейных уравнений:

(AiX+Biy+C^+D^O, ' (22 11)

А₂х + B₂y-\-C₂z+D₂=?ty. ^!

Уравнения (22.11) называются общими уравнениями прямой.

2. Направляющие косинусы прямой. Направляющие косинусы вектора q=(m;n;p) называются направляющими косинусами прямой. Так как за направляющий вектор прямой можно взять и вектор —q=(—m; —п; — р), то прямая имеет две тройки направляющих косинусов:

у/т²+п²+р²

3. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в про­странстве. Угол между двумя прямыми. Пусть заданы две прямые (x-x_l)lm_l=(y-y_l)ln_l=(z-z_l)lp₁ и (x-x₁)lm₂ = (y-y₂)ln₂ = (z-z₁)lp₁. Тогда условие параллельности этих прямых записывается в виде

т₁/т₂=п₁ \п₂ =/?! jp₂, (22.13)

условие перпендикулярности—в виде

т₁т₂+п₁п₂+р₁р₂ = 0, (22.14)

а угол ф между ними вычисляется по формуле

mim₂+n\n₂+pip₂

cos ф = ± —=^=—. . (22.15)

у/т² +п² +р² ‘у/т₂+п₂+р₂

19. Составить уравнения прямой,^ проходящей через точку М₀ (2; 1; 3) и параллельной вектору * q = ( 4; —5; —6).

О Используя равенства (22.9), найдем канонические уравнения прямой: (*^—2)/4=—1)/( — 5)=(z—3)/(—6).

Если эти уравнения записать в виде системы, то получим общие уравнения прямой:

f(*-2)/4 = (v-l)/(-5), Г5*+4.у—14=0,

(у“ 1)/5 = (^—3)/6, [6j—5z+9 = 0. •

19. Составить уравнения прямой, параллельной оси Ох и проходящей через точку м( 1; 1; 1).

^-1=0, [z— 1 =0.

О Направляющий вектор q прямой коллинеарен оси Ох; следовательно, его проекции на оси Оу и Oz равны нулю. Вектор q может иметь любое из двух возможных направлений и любую длину. Примем | q | = 1 и выберем направление, совпадающее с положительным направлением оси Ох; тогда ^=(1; 0; 0). Составим канонические уравнения прямой: (х—1)/1 =(у—1)/0 =

= (z — 1)/0. Общие уравнения прямой имеют вид

19. Составить уравнения прямой, проходящей через точку А (— 1; 2; 1) и параллельной прямой (дг—3)/2 = (у—2)/3 = (z + 2)/l.

^и О Так как искомая прямая параллельна данной, то за ее направляющий ' ШйтФр можно принять направляющий вектор q — (2; 3; 1) данной прямой. Используя теперь равенства (22.9), получаем канонические уравнения искомой прямой: (х+ 1)/2 = (у—2)/3 = (z—1)/1. ф