3. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Дня

того чтобы две плоскости были параллельны, их нормальные векторы и i и п₂ должны быть коллинеарны, т.е. п i =Хп₂, где Х^О. Если ни одна из коорди­нат векторов п i и и 2 не равна нулю, то из последнего равенства следует, что

4₁М₂ = 5₁/5₂ = С₁/С₂, (22.5)

т. е. коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны.

Для того чтобы плоскости были перпендикулярны, их нормальные векторы п₁ и п ₂ также должны быть перпендикулярны, т. е. их скалярное произведение равно нулю: п i • п ₂ = 0. Отсюда следует, что

А\А₂ -{-BiB₂ + CiC₂ = 0. (22.6)

1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М₀ (—3; 0; 2) и перпендикулярной вектору п = (2; 3; 5).

О Здесь А = 2, 2?=3, С =5. Подставив в уравнение (22.2) значения коэффициентов А, Д Си координаты точки Л/, получим

2(д:-ьЗ) +3(у—0) +5(z—2) = 0 или 2x+3y+5z—4 = 0. #

2. Составить уравнение плоскости, перпендикулярной оси Ох и проходящей через точку м0 (2; —1;3).

О Уравнение плоскости, перпендикулярной оси Ох, имеет вид Ax+D = 0. Подставив в это уравнение координаты точки М₀, находим D= —2А. Подставив теперь значение D в уравнение Ax+D=Q, получим Ах—2А = 0, т. е. х—2 = 0. ф

3. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось Ох и точку м (3; 2; 4).

О Уравнение искомой плоскости имеет вид By+Cz=0. Подставив в это уравнение координаты точки М, получим 22?+4С=0, т. е. 2?=— 2С. Подставив теперь значение В в уравнение By+Cz=0, находим —2Cy+Cz=0, т. е. 2у—z=0. •

4. Составить уравнение плоскости, параллельной оси Oz и проходящей через точки Mi (3; —1; 2) и м2 (—2; 3; 4).

О Так как искомая плоскость параллельна оси Oz и проходит через точ­ки Mi (3; —1; 2) и М₂ (—2; 3; 4), то в качестве ее нормального вектора л=

= (4; 2?; С) можно взять вектор, перпендикулярный векторам MiM₂ =

= ( — 5; 4; 2) и л_г = (0; 0; 1) (единичному вектору оси Oz). С другой стороны, известно, что векторное произведение двух векторов есть вектор, перпенди­кулярный векторам-сомножителям; поэтому за п можно принять векторное

произведение М₁М₂ и п±. Следовательно,

TJ£		4 2		-5 2		-5 4
-5 4 2	= i	0 1	—/	0 1		0 0
0 0 1

Остается воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через данную точку M_t(3; — 1; 2) перпендикулярно вектору п = (4; 5; 0). Имеем

4(х—3) + 5(у+1)=0, или 4x4-57—7 = 0. ф

5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку м0 (2; —1; 3) и параллельной векторам а (3; 0; —1) и ь* (—3; 2; 2).

О Очевидно, что в качестве нормального вектора л = (А^ В; С) иско­мой плоскости можно взять векторное произведение а на В:

£

i J 3 0-1 -3 2 2

Используя теперь уравнение (22.2) при А=2, В=— 3, С=6, х₀ = 2, 7о= — 1, z₀ = 3, получим

2(х—2) — 3(7+1) + 6(z—3) = 0, или 2х—3y + 6z—25=0. #

6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М( — 2; 3; 4) и параллельной плоскости х+27—3z+4=0.

О Поскольку искомая плоскость параллельна плоскости х+2у—3z+ +4=0, в качестве ее нормального вектора можно взять нормальный вектор и = ( 1; 2; —3) данной плоскости. Используя теперь уравнение плоскости, проходящей через данную точку в заданном направлении, получим

(х+2) +2(7—3) — 3(z—4)=0, или х+27—3z+8=0. ф

6. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки Mi (—2; —3; 1) и М₂ (1; 4; —2) и перпендикулярной плоскости 2Х+З7—z+4 = 0.

О За нормальный вектор п искомой плоскости примем векторное

* J	£		7 -3		з -з		3 7
3 7	-3	= 1		-7	2 -1	+ к	2 3
2 3	-1		3 -1

произведение векторов MiM₂ = (3; 7; —3) и л _х = (2; 3; —1) (ср. с решением задач 4 и 5). Таким образом,

п= М\М₂ х п i =

= 2/—3/— 5ic.

Остается воспользоваться уравнением плоскости, проходящей через данную точку Mi (—2; —3; 1) перпендикулярно вектору п = (2; —3; —5):

2(х+2)-3(7+3)-5(z-l)=0, или 2х—З7—5z = 0.

Заметим, что при составлении уравнения искомой плоскости вместо точки М1 можно было взять точку М₂. ф

8. Найти угол между плоскостями 2х—З7+4z — 1 = 0 и Зх—47— -Z + 3 = 0.

О Для вычисления угла ф между плоскостями воспользуемся формулой (22.4). Имеем 41 = 2, 2?! = — 3, Ci = 4 и Л₂ = 3, В₂=—4, С₂ = — 1. Следовательно,

|2-3 + (—3)-(—4) +4-(—1)| 14

у/2²+ (—З)² +4² -у/Ъ^г+ (—4)² + (— I)² ^29^26

=0,51; (р=59°,3. •

9. Найти расстояние от точки А (2; 3; 4) до плоскости 4Х + З7+ + 12z—5 = 0.

0 -1 2 2

3 -1 -3 2

3 о -3 2

n=axb=

+к

=2/— 3j+6k.

cos ф =

коллинеарен вектору « = (4; 3; 12), поэтому АВ=Хп. Обозначив координаты

точки В через х_и у_и z_b найдем АВ = ОВ — OA = (xi — 2; у_г — 3; zi —4).

Из равенства АВ = Хп следует, что Xi~2=4X, y_l — 3 = 3X, Zi —4= \2Х. Используя формулу расстояния между двумя точками, имеем

\1вЫ(4ХГ + (U)² + (12Х.)² = 131Ц.

Так как координаты точки В (хи _У1; zi) удовлетворяют уравнению плос­кости, то

4(2+4Х) + 3(3+3х) +12(4+ 12Х) —5 = 0, т. е. Х= -60/169. Следовательно, А В = 13 • | — 60/1691 = 60/13. ф

10. Найти расстояние между параллельными плоскостями 2х—3>>+6z + 28 = 0 и 2х—3y + 6z —14 = 0.

О Для нахождения искомого расстояния нужно взять точку на одной из плоскостей и определить расстояние от этой точки до другой плоскости. Полагая в уравнении первой из заданных плоскостей j = 0, z=0, имеем 2х+28=0, т. е. х= —14; итак, получили точку М (—14; 0; 0).

Теперь, так же как и в задаче 9, находим расстояние от данной точки М (—14; 0; 0) до данной плоскости 2х—3y+6z—14=0. Это расстояние равно 6 (убедитесь в этом самостоятельно), ф

11. Даны точки А (3; -2; -1), В (0; 0; 2), С (-3; 1; 0), D (—4; —2; 2,5). Укажите, какие из них принадлежат плоскости 2х—3y+4z—8 = 0.

12. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(3; 4; 5) и перпендикулярной вектору w = (— 1; — 3; 2).

13. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку

М₀ (2; —3; —1) и перпендикулярной вектору M_tM₂, где М₁ (3; 4; 1)

и М₂ (1; -2; -3).

14. Даны точки А (3; —2; 4) и В (1; 4; 2). Составьте уравне­ние плоскости, проходящей через точку А и перпендикулярной

вектору А В.

15. Составьте уравнение плоскости, перпендикулярной оси Oz и проходящей через точку М₀ (—2; —3; —1).

16. Составьте уравнение плоскости: 1) параллельной плоскости хОу и проходящей через точку М₀ (2; —2; 3); 2) параллельной плоскости хOz и проходящей через точку М₀ (—3; —2; —4).

17. Составьте уравнение плоскости: 1) проходящей через ось Oz и точку М(1;1;1); 2) проходящей через ось Оу и точку М(-2; -3; -4).

Составьте уравнение плоскости: 1) параллельной оси Оу и проходящей через точки М_х (1; —2; — 1) и М₂ (3; 2; —4); 2) парал­лельной оси Ох и проходящей через точки Mi (—4; 2; 5) и М₂(-5;-1;3). '

19. Составьте уравнение плоскости: 1) проходящей через точку М₀ (—4; —3; 1) и параллельной векторам о=(5; 2; — 3) и В— = (1; 4; —2); 2) проходящей через точку М (—1; — 2; 3) и параллель­ной плоскости 2х—Ъу+z— 1 =0.

20. Составьте уравнение плоскости: 1) проходящей через точки А (1; — 4; —3) и 2? (4; —2; — 1) и перпендикулярной плоскости х—у—3z+7=0; 2) проходящей через точки (2; — 1; — 3) и М₂ (—3; 4; 1) и перпендикулярной плоскости х—у—3z + 2 = 0.

21. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку М (— 1; — 1; 2) и перпендикулярной плоскостям х+2у — 2z+4 = 0 и х—2у+z—4=0.

22. Найдите угол между плоскостями х—j/+z+1 = 0 и 2x+3j— —z—3 =0.

23. Найдите расстояние: 1) от точки А (1; —2; 1) до плоскости 10х—2^+llz—10 = 0; 2) от точки А (2; 3; —2) до плоскости 6х— -ly-6z-124 = 0.

24. Найдите расстояние между параллельными плоскостями х—j; + 2z—4 = 0 и х—у-\-2z +10 = 0.