§ 9. Решение уравнений, приводимых к квадратным

1. Уравнения, содержащие переменную в знаменателе дроби (дробно-рацно- нальные уравнения с одной переменной)

51. Решить уравнения:

_! ! 1=0; 2) ^ + —= ⁶⁴

2(х—2) 3(3*—7) я: ’ х—4 *4-4 *² —16

OD-! ! U-

’ 2 (*-2) 3 (3*—7) *

=0,<

Зх(3*—7) —2*(*—2) -6(*-2)(3*-7) 6* (*—2) (3*—7)

6* (х—2) (3*—1)Ф0

f II*²—61*+84=0, I6*(jc-2)(3jc-7)#0^<

6х (х—2) (3*—7)#0.

При *=2— высказывание ^F И

истинно;

⁶'²тт(²тт^-2)(³'²77 ^{- 7})^#0

при *=3 высказывание 6 • 3 • (3—2) • (3 • 3—7) Ф 0 истинно. Таким образом, 6

получаем ответ: 2—; 3.

=0,

_ *4-4 *-4 64

1 =— о<,

х—4 *4-4 х —16

(*4-4)²4- (*—4)² —64 (*—4) (*4-4)

(*—4)(*4-4)*0

Г х= —4,

|_*=4

(*-4)(*+4)*0.

\ *² —16=0,

[(*—4)(*4-4)^0^<

При * = ±4 обе части исходного уравнения не имеют смысла. Поэтому корни квадратного уравнения л:² —16 = 0 не являются корнями данного уравнения. Уравнение не имеет решений. #

2. Биквадратные уравнения

51. Решить уравнение х^А— \3х²4-36=0.

О Для решения биквадратного, уравнения применяем подстановку *²=z. Тогда получим квадратное уравнение z²— 13z+36=0, корни которого

z₁=4 и z₂=9. Для нахождения корней исходного уравнения решаем совокупность уравнений:

г х²=4, Гх = +2,

(х⁴— 13л:² + 36 = 0)₂ ’о| ^1,2 ’ Ответ: х₁₂ = ±2, х₃₄=+3. L* =9 L*₃ 4~ 3»

^2

I ^Л1

‘3.4- -¹-

3. Уравнения, левая часть которых разлагается на множители

51. Решить уравнения: 1) х³ — 2х² — 8л: = 0; 2) я³ — 5jc²—л: + 5 = 0.

О 1) Очевидно, что левая часть уравнения раскладывается на множите­ли. Для нахождения корней исходного уравнения приравниваем каждый сомножитель нулю и решаем совокупность уравнений:

(х³ — 2х² — 8х = 0) о (х (х² — 2х—8) = 0) о

Ответ: xi = — 2, х₂ = 0, х₄=4.

г*=о, р=⁰’

> . о\ х= —2,

\_х —2x—S—0 |__х=4

1. Разложим на множители левую часть уравнения и приравняем каждый сомножитель нулю. Решив полученную совокупность уравнений, получим корни исходного уравнения:

х³ —5х²—х+5=0о(х² (х—5) — (х— 5)=0)о

Ответ: Xi = — 1, х₂ = 1,

_[х—5 = 0, Г х=5, х +1 =0, о I х= — 1, х—1=0 [_х= 1. х₃ — 5. ф

4. Двучленные уравнения

51. Решить уравнения: 1) jc⁴— 16 = 0; 2) х³ — 8 = 0.

О 1) (х⁴—16 = 0) о ((х²—4) (х²+4)=0) о ((х+2) (х—2) (х²+4) = 0) о

Ответ: Xi = — 2, х₂=2.

решения.

_[х + 2 = 0, Гх=-2, х—2 = 0, о\ х=2, х²+4=0 |_нет реш

2. (х³ —8 = 0)о((х—2)(*² + 2*+4)=0)<*>Г^Х *

|^х +2х+4=0 |^нет ре

решения.

Ответ: х=2. #

51. Решите уравнения:

14 1 4-х 7_

х² —9 3—х х+3 х+3

^ 3 2 4 1

2. —- н -=—- И -;

х—2 х—3 х—1 х—4 ₃₎ 2 1 _2х— 1 х²—х+1 х+1 х³ + 1’

^₊, ₊ б₌₁о_¥!);

X X х x^z

3. ) ! + I ₌

’ 2(\-у) 4у²+4у+4 у³— 1 ’

18z+7 .30 13 _

6. Т^Г ⁺ Т^ ⁺ ?Т7ТТ-⁰’

в"* + J L=l;

Зх²—12 2—x x—2 ’

0. ⁶ , *3-* 3 2 x² — 9 3 + x x+3 3 — x

51. Решите уравнения:

1. x⁴-5x²+4=0; 2) x⁴-34x²+225 = 0;

3) 9x⁴-37x² + 4=0; 4) 4x⁴-65x² + 16 = 0.

51. Разложите на линейные множители: 1) 4х⁴ — 17х²+4;

x⁴—125* ²+ 484.

51. Решите уравнения:

1. х³-4х²-11х+30 = 0; 2) jc⁴ —6jc³ + 3jc² + 26jc—24 = 0;

3) x⁴ + 2x³ — 13x² — 14x+24=0; 4) 2x³-7x² + 2x + 3 = 0;

5. x⁴— 13x² —12x=0; 6) x³ —2x² —5x + 6 = 0.

51. Составьте уравнения с корнями: l) —l; 2; —3; 2) —1/2; -1/3; 1.

52. Решите уравнения: 1) х⁴ —81=0; 2) 125х³ + 8 = 0; 3) 16х⁴ — -625=0; 4) 125х³ —27 = 0.