§ 4. Смешанные задачи

55. Докажите, что четырехугольник с вершинами А( 1; 4; 3), В (2; 3; 5), С (2; 5; 1) и D(3; 4; 3)—параллелограмм.

56. На оси ординат найдите точку, равноудаленную от точек А( 1; — 3; 7) и В(5; 7; -5).

57. Докажите, что четырехугольник с вершинами А(3; — 1; 2), /?(1; 2; —1), С(— 1; 1; —3) и D(3; —5; 3)—трапеция.

58. Вершинами треугольника служат точки 4(10; —2; 8), 3(8; 0; 7) и С (10; 2; 8). Вычислите периметр треугольника.

59. Отрезок АВ, концами которого служат точки А ( — 6; 1; 12) и В (9; 4; —9), разделен на три равные части. Найдите координаты точек деления.

60. Даны два вектора: а=37+2/—5к ^ и В= — 27+ 3/+ 4к. Вычислите координаты векторов а+b и а—В.

61. Вектор АВ=а задан координатами своих концов: А ( — 4; 1; 3), В (2; —5; 6). Вычислите косинусы углов, которые вектор а образует с базисными векторами.

62. Даны векторы а=(2; 2; — 1) и Я=(—3; 6; —6). Вычислите косинус угла между ними. ^

63. На векторах а = 2/ +/ и В = —/+ к построен параллело­грамм. Вычислите острый угол между его диагоналями.

ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА

1. Вектор АВ=а задан координа­тами своих концов: А (2; 4; — 3) и В(6; —3; 1). Вычислите его длину и косинусы углов, которые образует вектор с базисными векторами.

2. Даны векторы а=(2; —4; 5) и Ъ=(4; —3; 5). Вычислите косинус угла между ними.

3. ' Найдите векторное произведе­ние векторов а=2Г+4/+3& и Ь=

ЗГ+/+ 2к.

1. Дан треугольник с вершинами At-2;-4;0), Я(-2;-1;4) и С(—2; 3; 1). Вычислите его внутрен­ний угол при вершине А. ^

2. Даны jrpg вектора: а= 12Г—

3j—4k, Ъ=П 2j+4к и с= =Г— З/— 2к. Вычислите проекцию вектора Ь+с на вектор а.

3. Вычислите площадь паралле­лограмма, построенного на векторах а = ЗГ+ 5/+ 4к и b = T+ 2j+3£

Глава 22 уравнения прямой и плоскости в пространстве

§ 1. Плоскость

1. Уравнения плоскости. Пусть Р—плоскость, М₀(х₀; у₀; z₀)—точка, принадлежащая этой плоскости (рис. 164), а п = (А; В; С)—ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости Р (он называется нормальным вектором плоскости). Если М(х; у; z)—произвольная точка на плоскости Р, отличная от М₀, то вектор М₀М =(д:~л:₀; у—у₀; z—z₀) перпендикулярен ве­ктору п=(А; В С), т. е. скалярное произведение этих векторов равно нулю: ri'M₀M =0, или

л (F-г _о)=0. (22.1)

Уравнение (22.1) называется уравнением плос­кости в векторной форме. Если его записать в координатной форме, то получится уравнение

(22.2)

A(x-x_o)+B()>-y_o)+C(z-z_o)=0,

которое называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку в заданном направлении.

Уравнение (22.2) можно переписать в виде

(22.3)

Ах+By ~Ь Cz H-Z) = 0,

где Z)= — (AxQ+By_Q + Cz^. Уравнение (22.3) называется общим уравнением

плоскости. Заметим, что так как нормальный вектор „ ненулевой, то

коэффициенты А, В и С общего уравнения плоскости одновременно не равны нулю.

2. Угол между двумя плоскостями. Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Пусть две пересекающиеся плоскости A₁x+B₁y+CiZ+D₁=0 и A₂y+B₂y+C₂z+D₂ = 0 имеют нормаль-

ные векторы п i = (Ль Ви C_t) и п₂=(А₂; В₂; С₂). Тогда угол между этими плоскостями вычисляется по формуле

(22.4)

П\'П₂ I А^А₂-\-BiB₂-\- С\С₂1

cos ф =

I«11-I»2l JАI + 5? + С? УЛ₂²+Щ + С\