§ 3. Векторное произведение

Векторным произведением двух векторов а и В называется третий вектор с, удовлетворяющий условиям (рис. 163):

1. модуль вектора с равен произведению модулей векторов а и В на синус угла между ними, т. е.

k| = M-|£|-sin(£^A£); (21.15)

2. вектор с перпендикулярен плоскости, определяемой векторами а и В;

3. вектор с направлен так^ что кратчайший

поворот ректора а к вектору В виден из конца вектора с происходящим против часовой стрелки (т. е. векторы а; В и с образуют правую упорядо­ченную тройку, или правый репер).

Векторное произведение а на В обозначается р_ис |£з символом ах В.

Модуль векторного произведения равен пло­щади параллелограмма 5, построенного на векторах а и В.

Векторное произведение выражается формулой

где е—орт направления ах В.

' Векторное произведение векторов а=(х _х; у_:; z_x) и Б(х₂; у₂; z₂), заданных своими координатами, вычисляется следующим образом:

*i 7i *2 У2

У1

У2 *2

к =

7+

(21.17)

/ j к a xb=Xi у_у Zj *2 Уг ^zi

=(yiZ₂-z_iy2)T+(z 1*₂-*^₂)/+(* 1У2-У1^к.

Физический смысл векторного произведения состоит в следующем. Если F—сила, а г—радиус-вектор точки ее приложения, имеющий начало в точке О, то момент силы F относительно точки О есть вектор, равный векторному произведению г на F, т. е. m₀(F) = rxF.

5. Найти векторные произведения: 1) 7xj; 2) ух£; 3) £х/;

ух/; 5) кxj; 6) Гх£, где Т, J, к—орты правой системы координат.

О 1) Вектор Txj коллинеарен U и является единичным, так как площадь параллелограмма (квадрата), построенного на векторах Г и j₉ равна единице. Векторы 7, j, 1с образуют правую упорядоченную тройку, поэтому

7xj=1c.

Аналогично находим: 2) jxk = 7; 3) Jcx7=J\ 4) JxT= —к (j, 7 и Л образуют правую тройку); 5) кх/= —7; 6) 7хк = —/ ф

5. Дано: |а|=4, \Б | = 5, (а,^Д£) = 30°. Найти ах Б.

О По формуле (21.15) находим модуль векторного произведения:

| ахБ\ = \а | • | ^ I * sin 30°=4* 5 (1/2)= 10.

По формуле (21.16) имеем ахБ= 10е, где е—орт направления ах Б. ф

5. Найти векторное произведение векторов а = 37— 2/+ 5к и

Б=И—/+з£

/ j ь		-2 5		5 3		3 -2
3-2 5	=		Г+	3 2	/+
2-13		-1 3				2 -1

О По формуле (21.17) получим

к= —7+j+k. ф

ахБ=

5. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a = 2i+j+2lc и 5 = Зг+2у + 2£

ахБ=

к — — 2i+2j+k.

О Модуль векторного произведения двух векторов равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах. По формуле (21.17) находим

/ j к		1 2		22		2 1
2 1 2	—	2 2	7+	23	/+	3 2
3 2 2

|ахБ | = _n/(-2)² + 2² + 1² = 3, то

искомая площадь

Так как 5=3(кв. ед.). Щ

5. Даны сила F=(2; 3; —1) и точка ее приложения А(— I; —I; 3). Найти момент силы относительно начала координат и углы, составляемые моментом с координатными осями.

О Находим векторное произведение радиус-вектора r=(—1; — 1; 3) точки приложения силы на силу F=(2; 3; —1):

Г j Z		-1 3		з -1		-1 -1
-1 -1 3	=		1+		7+
2 3-1		з -1		-1 2		2 з

= — 8i+5/— к.

Находим модуль момента:

|m₀(^)|=V(-8)² + 5²+(-l)²=V90 * 9,49.

Направляющие косинуса вектора m₀(F) таковы: cosа= —8/9,49«—0,843; cos(3 = 5/9,49«0,527; cos у= —1/9,49«—0,105. Углы, составляемые моментом силы с координатными осями, равны а =147°,5; р = 58°,2; у=96°.

Контрольное вычисление: cos²a+cos² (3+cos²y=(—0,843)² + +0,527²+(-0,105)² = 1. •

5. Дано: \а | = 4, \В\ = 6, (а; В) = ф. Найдите ах В, если:

ф = 0; 2) ф = 90°; 3) ф=150°.

5. Найдите векторное произведение векторов a=l7+3j—4к и b = i—j+3k.

54_д Найдите площадь^ параллелограмма, построенного на векто­рах a = 7+j—k и В = 27—J+ 2к.

55. Найдите площадь треугольника по координатам его вершин: А(2; — 3; 4), 3(1; 2; -1} и С(3; -2; 1).

56. Даьп>1 силы F=( — 2; — 3; 2) и точка ее приложения А(— 1; 3; —1). Найдите момент силы относительно начала коорди­нат и углы, составляемые моментом с координатными осями.