5. Назовите три упорядоченные пары вершин тетраэдра abcd, задающие коллинеарные векторы, и по три упорядоченных пары, задающих компланарные и некомпланарные векторы.

6. Дан параллелепипед ABCDA^B^^D^ Разложите по векто­рам р = АВ, q = AD и г=АА₁ векторы: 1) AD_X; 2) АС_Х; 3) AM,

где М—середина ВВ_и 4) AN, где N—середина В±С; 5) АР, где PeD_lC_l и D₁P:PC₁ = 3A.

5. Дан тетраэдр ABCD. Мецианы грани АВС^ пересекаются в точке М. Разложите вектор DA по векторам DB, DC, DM.

6. Дан параллелограмм ABCD и вне его точка М. Разложите по векторам МА=а, МВ=Ь, МС=с векторы: 1) МО, где О—точка пересечения прямых АС и BD; 2) MD; 3) MN, где N—середина отрезка AD.

7. Постройте точки: а(2; 3; 4); в( — 2; —3; —4); с( — 2; — 3; 4); d{2; -3; 4); е(-2; 3; 4); f(2; 3; -4); g(0; 0; 2); н(3,0; -4).

8. Назовите координаты вектора 1) 3i+2j—5lc; 2) 2i—к;

0,57+Jlj; 4) 3£; 5) -4/; 6) (Г.

5. Даны векторы: 1) д = 2/+3/ — 5fc; 2) 5= — /—2y+3fc. Запи­шите их координаты.

6. Постройте векторы: 1) а = (2; 3; 4); 2) 5=(2; —3; —4);

с=(3; -1; -4); 4) Я=(-5; -4; 3).

5. Постройте вектор ав, если: 1) а (2; —3; 4) и /?( — 3; 2; —5);

А(0; -2; 3) и Б(5; 0; -4).

5. Зная координаты точек а (4; —3; 2) и 2?( — 2; 4; —3), лг(0; 5; 1)

и N( —4; 0; —3), найдите координаты векторов АВ^ и MN.

5. Зная координаты векторов а=(2; 3; — 4]^ Ь = ( —1; 2; 1) и ?=(3; 0; 2), найдите координаты векторов:^ 1) а+Ь; 2) а + с; 3) а+Ь — с; 4) За; 5) — я+2с; 6) 2а + ЗЬ — 2с.

6. Пользуясь условием коллинеарности двух векторов, про­верьте, коллинеарны ли векторы: 1) а = (2/5; —1/3; 4/5) и Ь =

=(3/5₅ -1/2; 6/5); .2) с=(-6; 1/3; 3) и Я={-2- 1/9; -1/3).

5. При каких значениях пир векторы а=(—3;,л; 4) и В =(—2; 4; /?) коллинеарны? ^

6. ^Вычислите^ длину вектора: 1) а = — 7— 2J+ 2к\ 2) 6= = Г+ 2/— з£; 3) с=7—1с; 4) *?=— 3£

7. Вычислите длийу вектора я+5, если: 1) я=(—1; 2; 1),

Н-2; 2; -1); 2) я=(1; -2; 3), В={-lj 2; -3).

5. Вычислите длину вектора Зя+26, если а=(2; 0; 0), 6=(1; 1; -1).

6. Вычислите длину вектора АВ, если ^4(5; 3; 1) и В(4; 5; —1).

7. Найдите периметр треугольника, образованного векторами ав, вс и са, если л (8; 0; 6), в(8; -4; 6), с(6; -2; 5).

8. Отрезок л б задан координатами своих концов а( 4; 2; —3) и в (6; —4; —1). Найдите координаты точки с, делящей этот отрезок пополам.

9. Отрезок АВ задан координатами своих концов А(3; —2; —5) и 5(7; 6; — 1). Найдите координаты точки С, делящей его в отношении Х=АС:СВ= 1:3.

10. Найдите точку пересечения медиан треугольника, если вершинами его служат точки А(1\ —4; 5), В(— 1; 8; — 2) и С(—12; —1; 6).

11. Найдите косинусы углов, которые образуют с базисными векторами следующие векторы: 1) а=f-f/-+ к; 2) 5== (4; 3; 0); 3) с = —/— 3fc; 4) 3=31

§ 2. Скалярное произведение векторов в пространстве

Скалярное произведение векторов я=(* i/7i>* ^zi) и В=(х₂; у2', ^за" данных своими координатами, находится по формуле

a •S=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂. (21.12)

Угол между векторами а=(х у_х; z^) и В=(х₂; у₂; z₂) вычисляется по формуле

_ ^2+^2+Z!Z₂

COS Ifl) и I — —► i т* I . i. . . • (21.13)

l«NM Jxl+yl+zl-Jxl+yl+zl

Условие перпендикулярности векторов a=(x₁;y_l;z₁) и 5=(х₂/ 7₂; ²2) имеет вид

*1*2+7172+^2 = 0. (21.14)

5. Найти скалярное произведение векторов а=(4; —3; 1) и В=(5; -2; -3).

О По формуле (21.12) находим а 8=4 • 5+(—3)•(—2)+1 •(—3) = 23. ф

5. Даны векторы а = — 47— 3/+ 5к и Б=— 2Г+3/+£ Найти угол между ними.

О По формуле (21.13) получим

—4-(—2)+'(—3)-3 + 5-1 _2_ч/7 lyjl

\/(^—4)² + 0+3² ■_х/2²+(—2)² +1² 3

5. Найдите скалярное произведение векторов: 1) а=(3; —2; 1) и £=(4; -7; -3); 2) ?=(2Д -5/6^ 1/4) и ^=(3/2; 6/5; 4/3).

6. Даны векторы a=7+3j — k, 5= — 2?—4/+3£ и с = = 4Г— 2j—3£ Найдите скалярное произведение суммы двух первых векторов на третий.

7. Дан куб ABCDAjB^C_tD_v Найдите углы между векторами:

1. AD и ВВ_Х\ 2) ВС и ; 3) AD_X и 4) и 5) СВ_Х и 44_х.

5. Найдите угол между векторами: I) а = 37—4к и b = 51—121с;

2. <?=(—2; 2; —1) и £=( — 6; 3; 6); 3) а+В и а—К, если а=( 1; —1; 2) и £=(0; 2; 1).

5. В треугольнике АВС, где /1(1; 1; 5), В(—2; 0; 7), С(—3; —2; 5),

/Ч

найдите АС В.

5. Проверьте, перпендикулярны ли векторы: 1) а=(3; 0, —6) и ^=(4; 7; 2); 2) с=(-3; 2; 5) и 3=(6; -3; 1).

6. Дан треугольник: 4(2; 4; 5), В( — 3; 2; 2), С(— 1; 0; 3). Пока­жите, что С41ЯС.

7. Даны векторы а = ( — 2; у; 1) и В=(3; — 1; 2). Найдите коор­динату у, если известно, что alb.