Глава 21 векторы в пространстве

§ 1. Основные понятия. Прямоугольная система координат в пространстве

1. Векторы в пространстве. В пространстве, как и на плоскости, вектором называется направленный отрезок. Так же определяют основные понятия для векторов в пространстве: модуль вектора, направление вектора, равенство векторов.

Векторы, расположенные на прямых, параллельных одной и той же плоскости, или лежащие в этой плоскости, называются компланарными.

Три вектора, среди которых имеется хотя бы один нулевой вектор, считаются компланарными.

Любой вектор а пространства можно разложить по трем заданным некомпланарным векторам а, Б к с:

3=xa+yb+zc. (21.1)

2. Прямоугольная система координат в пространстве. Пусть в прост­ранстве задана тройка попарно перпендикулярных единичных векторов i, J и к, отложенных от некоторого начала—точки О (рис. 161). Такую тройку векторов называют прямоугольным базисом^ в пространстве. Совокупность начала О и прямоугольного базиса (f, j, 1с) называют прямоугольной системой координат в пространстве.

Разложение вектора а в базисе (£ J, Щ имеет вид

а=хТ+ yj+- zk. (21.2)

Координаты точки М—числа х, у, z (рис. 162) в данной систе­ме координат—называются координатами вектора ОМ=а.

Если ОМ=а=(х; у; z), то пишут М(х; у; z). Число х называют абсцис­сой, у—ординатой и z—аппликатой точки М или вектора ОМ=а. Начало О векторов называется началом координат. Оси, определяемые векторами /, j, к, называются координатными осями, а плоскости, проходящие через каждые две координатные оси,—координатными плоскостями. Пространст­во, в котором задана система координат, называют координатным прост­ранством.

Координатные плоскости делят все не принадлежащие им точки пространства на восемь областей—октантов.

Точки, лежащие на координатных плоскостях, имеют одну из координат, равную нулю. Точки, лежащие на осях координат, имеют две координаты, равные нулю. Начало координат имеет все три координаты, равные нулю.

Знаки координат точек в пространстве представлены в таблице:

Координаты	Октант
	I	11	III	IV	V	VI	VII	VIII
Абсцисса	+			+	+	—	—	+
Ордината	+	+	—	—	+	+	—	—
Аппликата	+	+	+	+	—	—	—	—

Рис. 161

Если все координаты вектора а отличны от нуля, то этот вектор можно изобразить как диагональ прямоугольного параллелепипеда, числовые значения длин ребер которого равны [х\, [у|, \z\ (рис. 162).

В заданном прямоугольном базисе (Т, j, к) каждая тройка чисел (х; у; z) определяет единственный вектор, для которого эти числа являются координатами.

По определению прямоугольного базиса имеем

T'j=7 'k=J */с=О, Г²=/²=£² = 1.

Если началом вектора а является точка А (х_А; у_А; z_A), концом—точка В(х_в; у_в; z_B), то вектор а=АВ имеет координаты, равные разностям соответствующих координат точек В и А:

а=АВ =(х_в—х_А; у_в—у£ ^zb~^za)> (21-3)

и записывается в виде

а=АВ = (х_в-х_л) ?+ {у _B-y_A)J+ (z _в - г_л) £ (21.4)