Глава 20 прямые и плоскости в пространстве

§ 1. Параллельность прямых и плоскостей

1. Простейшие задачи на построение сечения многогранника. Сечением многогранника называется часть секущей плоскости, ограниченной линиями пересечения этой плоскости с поверхностью многогранника. При постро-

ении сечения многогранника необхо­димо найти: 1) положение секущей плоскости; 2) линию пересечения се­кущей плоскости с поверхностью много­гранника.

1. 

   Рис. 158

   В тетраэдре SABC провести сече­ние плоскостью, проходящей через три точки К,, L, М, лежащие соответственно на ребрах SA, SB и АС (прямые KL и АВ не параллельны; рис. 158).

О Плоскость, проходящую через точки К, L, М, обозначим а. Плос­кость а имеет с плоскостью SAB общие точки К и L; поэтому плоскости SAB и а пересекаются по прямой KL. Отрезок KL—пересечение грани SAB и плоскости а. Аналогично построим отрезок КМ.

Плоскость грани АВС имеет с секущей плоскостью а общую точ­ку М; для построения линии пересечения этих плоскостей достаточ­но найти еще одну их общую точку. Такой точкой является точка D пересечения прямых KL и АВ (точка D лежит в плоскости айв плоскости АВС). Проведя прямую MD, получим точку N на ребре ВС. Отрезки MN и NL—две другие стороны сечения. Итак, сечение MKLN—искомое. #

2. Даны тетраэдр SABC и точки М и N, причем точка М лежит на ребре SC, а точка N—на ребре АВ. Постройте пересечение плоскостей АВМ и SCN.

3. Дан куб ABCDA^B^C^D^ причем К лежит на ребре АА_и L—на ребре СС_г и М—на ребре DC. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки К, L, М.

4. В кубе ABCDA₁B_lC_lD₁ постройте сечение плоскостью, проходящей через: 1) вершины Л₁₉ В и D; 2) середины ре­бер, выходящих из одной вершины; 3) диагональ основания BD и вершину А_х; 4) три точки, лежащие на ребрах АА_и СС_Х и ВС.

5. В тетраэдре SABC постройте сечение плоскостью, проходящей через три точки, лежащие на ребрах SA, АС и ВС.

6. В тетраэдре SABC постройте сечение плоскостью, проходящей через вершину S и точки М и N, лежащие соответственно на ребрах АВ и АС.

7. Постройте сечение тетраэдра SABC плоскостью, проходящей через вершину А и середины ребер BS и CS. Найдите площадь сечения, если ребро тетраэдра равно а.

8. Постройте сечение тетраэдра SABC плоскостью, проходящей через ребро SA и точку пересечения медиан грани АС В. Найдите площадь сечения, если ребро тетраэдра равно а.

9. На модели куба укажите его ребра, лежащие на скрещивающихся прямых.

10. Через данную точку проведите пря­мую, скрещивающуюся с данной прямой.

11. Сколько пар ребер, лежащих на скрещивающихся прямых, имеет тетраэдр?

12. Найдите расстояние между скрещи­вающимися диагоналями двух соседних гра­ней куба с ребром а.

3. Параллельные прямые

13. Концы данного отрезка длиной 50 см отстоят от плоскости на 30 и 44 см. Найдите проекцию этого отрезка на плоскость.

14. Отрезок длиной 15 см пересекает плоскость, концы его отстоят от плоскости на 3 и 6 см. Найдите проекцию этого отрезка на плоскость.

15. Отрезок пересекает плоскость; концы его отстоят от плоскости на 3 и 12 см. Найдите расстояние середины этого отрезка от плоскости.

3. Параллельность прямой и плоскости

16. Дан тетраэдр SABC, причем М лежит на ребре AS и TV на ребре АС. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки М и N и параллельной прямой АВ.

О Анализ. Предположим, что сечение построено (рис. 160). Пересече­ние плоскости сечения с гранью ASC получим, соединив точки М и N. По условию, прямая АВ параллельна плоскости сечения, поэтому грани АВС и ABS пересекают плоскость сечения по отрезкам PN и MQ, параллельным прямой АВ.

Построение. 1) NP\\AB, Р лежит на ребре ВС; 2) MQ\\AB, Q лежит на ребре SB. Четырехугольник NMQP—искомое сечение.

Доказательство. Плоскость NMQP параллельна прямой АВ, так как MQ\\AB.

Исследование. Задача имеет единственное решение, так как ребро ВС пересекает плоскость сечения в единственной точке Р и через точки М, N, Р проходит единственная плоскость.

Мы применили общую схему решения задач на построение (анализ, построение, доказательство, исследование).

17. 1) Даны точка А и прямая а, причем А не лежит на прямой а. Проведите через точку А прямую, параллельную данной плоскости.

2. Даны точка А и прямая а, причем А не лежит на прямой а. Проведите через точку А плоскость, параллельную прямой а.

18. Дано а\\Ь. Проведите через прямую а плоскость, параллель­ную прямой Ь.

19. Проведите через данную точку отрезок так, чтобы его проекция на данную плоскость была равна длине отрезка.

20. В кубе ABCDA_iB_lC₁D_l проведите сечение через: 1) ребра АВ и DiQ; 2) ребро AD и середину ребра ВВ_г; 3) середину ребер AD и DC параллельно ребру DD_X; 4) середину ребра CC_t параллельно ребрам АВ и A^D^.

21. В тетраэдре SABC проведите сече­ние через середину ребра АС параллельно ребрам АВ и CS.

22. Постройте сечение тетраэдра SABC плоскостью, проходящей через середину

С ребер BS и CS и внутреннюю точку D ребра АС.

23. Дан параллелепипед ABCDA^^C^D^. Постройте точку пересечения прямой AC_t с плоскостью, проходящей через ребра DC и A_tB_v

3. Параллельные плоскости

24. Через точку грани ASB тетраэдра SABC проведите сечение, параллельное: 1) плоскости грани АВС; 2) плоскости грани ASB.

25. Через точку на боковой грани призмы проведите сечение, параллельное: 1) плоскости основания призмы; 2) плоскости данного диагонального сечения призмы.

26. Две прямые, проведенные из точки S, пересекают три параллельные плоскости соответственно в точках А_и А₂, А₃ и В_и В₂, В_ъ. Известно, что A_tA₂ = 4 см, В₂В_Ъ = 9 см, A₂A₃ = B_tB₂. Вычис­лите A_tA₃ и B_tB₃.

27. В тетраэдре SABC проведены сечения А₁В₁С₁ и А₂В₂С₂, плоскости которых параллельны грани АВС. Известно, что SB₁=A₁A₂ = 6 см, С₁С₂ = В₂В= 12 см, SA_i=4 см. Вычислите SA, SB, SC.