74. Составьте уравнение параболы с осью симметрии, парал­лельной оси Ох, если парабола проходит через точку м и имеет вершину а: 1) м( 1; 3), а (-4; -2); 2) м(0; 0), а (-2; -4);

М(—3; -3), А(3; -1).

74. Составьте уравнение параболы с осью симметрии, парал­лельной оси Оу, если парабола проходит через точку М и имеет вершину 4: 1) М(-6; -8), А (2; 4); 2) М(0; 0), 4(5; -5); 3) М(0; 0), А(3; 5).

75. Составьте уравнение параболы с вершиной а и фокусом f:

1. А (4; 6), F(-2; 6); 2)4(3; -2), F( 3; 0); 3)4(-1; 1), F(-l; -4).

74. Составьте уравнение параболы, если известны координаты ее вершины А и уравнение директрисы: 1)4(1;—3), jc=5;

2. А (-2; 4), 7=-2; 3)4 (-3; 5), у=7.

74. Составьте уравнение параболы, симметричной относительно оси Ох, если известны координаты ее вершины 4 и уравнение директрисы: 1)4(3;0), х=0; 2)4(-4;0), х=2.

75. Составьте уравнение параболы, симметричной относительно оси Оу, если известны координаты ее вершины 4 и уравнение директрисы: 1) 4(0; 2), 7=0; 2) 4(0; -2), 7= -5; 3) 4(0; -3), 7=0.

76. Составьте уравнение параболы, если известны координаты ее фокуса F и уравнение директрисы: 1) F(—6; —1), х=2; 2) F(0; 0), х=-4; 3)F(2;2), 7=-4; 4) F(0; 0), 7=4.

77. Найдите координаты вершины параболы: 1)х2 —6х—67—

• 21=0; 2) х² + 8х+57 + 21 =0; 3) 7² + б7 + Зх+15 = 0; 4)7² — 67 —

• 12х + 33 = 0.

74. Вычислите координаты фокуса параболы: 1)7² — 87—8х— -8 = 0; 2) 7² — 12х—36 = 0; 3) х² + Юх+87+41 =0; 4)х²-б7~9 = 0.

75. Составьте уравнение оси параболы: 1) у²— Ю7—10х+5 = 0;

1. х² + 16х-187+100 = 0.

74. Составьте уравнение директрисы параболы: 1) 72 — 27—

• 10х+11=0; 2) 7² + 87 + 8х+32 = 0; 3) х² —6х+27+7 = 0.

74. Постройте параболу: 1) х² + 2х—у—8=0; 2) х²+8х+47=0;

2. 7²-4х+27 = 0.

§ 7. Касательная и нормаль к кривой

Пусть на кривой y=f(x) дана точка М₀(х₀; у₀), для которой y₀=f(x₀) (рис. 149).

Значение производной функции y=f(x) при х=х₀ равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к кривой y—f{x) в ее точке с абсциссой х₀, т. е.

k=y'(xo)=f'(xo)=4*>

где а—угол между касательной к кривой в точке М₀(х₀; у₀) и положитель­ным направлением оси Ох.

Уравнение касательной к кривой y=f(x) в точке М₀ (х₀; у о) имеет вид

У-Уо=ГМ(х-х₀). (19.25)

Нормалью к кривой y=f(x) в данной ее точке М₀(х₀; у₀) называется перпендикуляр к касательной, проведенной через точку касания М₀(х₀; у₀) (рис. 149).

Уравнение нормали к кривой y=f(x) в точке М₀(х₀; у₀) имеет вид

у-у =- I (х-х₀). (19.26)

/ (*о)

У'

Рис. 149

Рис. 150

о

Направление кривой в каждой ее точке определяется направлением касательной к ней в этой точке, поэтому для нахождения угла наклона кривой в данной ее точке надо вычислить угол между касательной, проведенной в этой точке, и осью Ох.

Углом между пересекающимися прямой и кривой называется угол между прямой и касательной к кривой, проведенной через точку их пересечения (рис. 150).

Углом между двумя пересекающимися кривыми называется угол между касательными к этим кривым, проведенным в точке их пересечения (рис. 151).

74. Найти угол наклона к оси Ох касательной, проведенной к кривой у = sinx в точке х=п/3.

О Найдем производную функции у = sinx при х=п/3:

У=cosx, у' (к/3)=cos (тс/3) = 1/2.

Тангенс угла наклона касательной в точке х=п/3 равен 1/2, т. е. fc=tgoc=l/2, откуда a=arctg (1/2) «26°,6 (рис. 152). ф

74. Под какими углами парабола у = х²+х пересекает ось Ох?

О Найдем точки пересечения параболы у=х² + х с осью Ох. Для этого решим систему уравнений

Гу=х² + х, |”(—1; 0), \у=0 *1(0; 0).

3 2

Рис. 152

х

Hi

о

Значит, парабола пересекает ось Ох в точках Л(—1;0) и 0(0; 0) (рис. 153). Найдем угловые коэффициенты касательных к параболе в этих точках:

/=(*²+*)' = 2*+1; £(—1)=2 (—1)+1 = — 1; *(0) = 2-0 + 1 = 1.

Вычислим углы а_х и а₂, образуемые касательными в точках пересечения параболы с осью Ox: tga_x = — 1, ^ = 135°; tga₂ = l, a₂=45°. •

74. Найти угол, образованный кривой у=\пх при пересечении ее с осью Ох.

О Найдем точку пересечения кривой у=\пх с осью Ох. В этой точке 1пх=0, откуда х= 1 (рис. 154).

Вычислим угловой коэффициент касательной в точке jc= 1:

у'=(\пх)' = 1/х; /(1)=1.

Найдем угол, образуемый касательной в точке пересечения кривой у—\пх с осью Ox: tga=l, a=45°. ф

74. К параболе у=3х² —х в точке jc= — 1 проведены касательная и нормаль. Составить их уравнения.

О Для составления уравнения касательной найдем ординату точки М, через которую проходит касательная, и ее угловой коэффициент.

Найдем ординату точки касания, подставив в уравнение параболы значение х= — 1:

,(-1)=3-(-1)²-(-1)=4; М(-1;4).

Вычислим угловые коэффициенты касательной и нормали: к„,_с=у'={Зх²-хУ = 6х-1; /(—1)=6 (—1)—1 = —7; к_ялрн = 1р.

Подставив в уравнения (19.25) и (19.26) координаты точки М и значения £_кас и к_норм, получим

у—4= — 7(хН-1), или 7x+j+3=0 (уравнение касательной) и

у—4=^(х+1), или х—7у+29 = 0

(уравнение нормали), ф

74. Составить уравнение касательной и нормали к эллипсу х²/21+у²/24=\ в точке (—3; —4).

О Дифференцируем уравнение эллипса по х, рассматривая у как функ­цию от х:

Ф

2х 2уу' _{Л п Л Л} 8л:

—+—=0, 8х+9уу = 0, откуда у =-—.

27 24 9у

Найдем угловые коэффициенты касательной и нормали в точке (-3; —4);

* 3)- ^8MI- ² » -2

*ac У \ 9 (—4) 3’ ^рм 2

Отсюда получаем

у+4= — (2/3)(х+3), или 2х+37+18=0 (уравнение касательной) и

7+4=(3/2)(х+3), или Зх—27+1=0 (уравнение нормали), ф

74. На параболе у=х²—2х—8 найти точку М, в которой касательная параллельна прямой 4х+7+4=0.

О Определим угловой коэффициент касательной к параболе: к=у' = = (х² — 2х—8)' = 2х—2. Найдем угловой коэффициент данной прямой: 4jc+7+4=0; у= — 4х—4; /:= — 4.

Касательная к параболе и данная прямая параллельны, следовательно, их угловые коэффициенты равны: 2х—2= — 4, откуда абсцисса точки касания х = — 1. Ординату точки касания М вычислим из уравнения параболы: 7(1) = (-1)²-2 (—1)—8=—5; М(—1; —5) (рис. 155). *

74. Вычислить острые углы, образуемые при пересечении параболы х²—4у = 0 и прямой х—27+4=0.

О Найдем точки пересечения параболы и прямой; для этого решим

{х²—47=0, Г(~~2; 1),

2. +4 ' ₀Н (4- 4) * ^^аким °бР^азом’ парабола и

прямая пересекаются в точках А(—2; 1) и В (4; 4) (рис. 156).

Найдем угловой коэффициент данцой прямой: х—2у+4=0; у=(1 /2) х+2, к =1/2. Вычислим угловые коэффициенты касательных в точках А (—2; 1) и

5(4; 4). Записав уравнение параболы в виде 7 = (1/4)л:², найдем к=у' = (\/2)х. Угловой коэф­фициент касательной в точке А есть А:(—2)=(1/2) *(—2)=-1; угловой коэффициент касательной в точке В равен к (4) = (1/2) *4=2.

Угол между параболой и прямой в точке А найдем как угол между двумя прямыми с угловыми коэффициентами k_l= — 1 (угловой коэффициент касательной в точке А) и к₂ = 1/2 (угловой коэффициент прямой):

^1/2-⁽~^1} =3; _Ф1«7ГД ^8Vl 1 +k₂k₁ 1+(1/2)(—1) ^Vl

Аналогично находим угол между парабо­лой и прямой в точке В:

2-1/2 3 tg<P2 = , , „,-,4=7; ф₂~3б°,9. •

Рис. 157

у^2st>*

Рис. 156

х

74. Вычислить острые углы, образуемые при пересечении парабол у² = 4х и х²=у/2.

О Найдем точки пересечения парабол; для этого решим систему уравнений

Следовательно, параболы пересекаются в точках 0(0; 0) и А (1; 2) (рис. 157).

Угол между двумя пересекающимися параболами найдем как угол между касательными к ним, проведенными в точке пересечения. Вычислим угловые коэффициенты касательных к параболам в точках их пересечения. В точке (0; 0) касательными к параболам служат оси Ох и Оу, следовательно, в этой точке параболы пересекаются под прямым углом. Для нахождения углового коэффициента касательной к параболе у²=4х в точке А перепишем ее уравнение в виде у=2 у/х (перед радикалом берем знак плюс, так как пересечение парабол происходит в I четверти): к=у'=\1у/х; к=у’( 1) = 1. Вычислим угловой коэффициент касательной к параболе х²—у/2 в точке А; записав ее уравнение в виде у = 2х², имеем к=у'=4х; к=у’ (1)=4 • 1 —4.

Найдем угол ф между касательными, зная их угловые коэффициенты

74. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к параболе: 1) у= -х²-\-х в точке х=— 2; 2)у=х² — Зх+2 в точке х=3.

75. Найдите угол наклона к оси Ох касательной, проведенной к кривой: 1) у=х²—2х в точке х — 2; 2) у=х³ в точке х= —2;

3. 7=sin;c в точке х=2п/3; 4)>>=tgx в точках х=я/3, х=п/4.

74. Под какими углами парабола у=х²+2х—8 пересекает ось

0x1

74. Найдите угол, образованный кривой у=sinx при пересече­нии ее с осью Ох в точке 1) х=0; 2) х=к.

75. Под каким углом: 1) кривая у=Igx пересекает ось Ох;

кривая у=е'^/з* пересекает ось Оу1