§ 7. Решение квадратных уравнений

Уравнение вида ах² Л-ЬхЛ-с—0, где а, b и с—действительные числа, причем аф 0, а *—переменная, называется квадратным уравнением. Если а= 1, то квадратное уравнение называется приведенным, если аФ 1, то — неприведенным.

Квадратные уравнения вида ах² — 0, ах² + с—0 и ах²Л-Ьх — 0 называются неполными.

Формула корней квадратного уравнения ах² + Ъх+с=0 имеет вид

-Ь±^/Ь²-4ас *1,2= ^ . (3.6)

где b²—4ac=D—дискриминант квадратного уравнения.

Если D< 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней; если D = 0, то оно имеет один корень —Ь/(2а); если D> 0, то оно имеет два корня.

Приведенное квадратное уравнение х²+рх+ q=0 в случае, когда р— четное число, удобнее решать по формуле

*i.2=-f ±./(^ ) -Ч- (3-7)

51. Решить неполные квадратные уравнения: 1) 5л:² = 0;

2. л:² + 4х = 0; 3) Зл:² —27 = 0; 4) л:²+16 = 0.

О 1) (5х ² = 0) о (х ² = 0) о (х = 0). Ответ: 0.

[х = —4

_л ’ Ответ: —4; 0. х=0.

3. (3jc²—27=0) <^> (jc ²—9=0) о (jc ² = 9) о I ^ ’ Ответ: -3; 3.

4. Г*=-з,

   L*=3.

   He существует такого значения переменной х, чтобы сумма х²+16 приняла значение 0. Следовательно, уравнение корней не имеет. ф

51. Решить квадратные уравнения:

1. 5jt² + 7x+2 = 0; 2) х² — 5х+6 = 0; 3) х² — 6д:+8 = 0;

4) 9jc² + 24jc+16 = 0; 5) 8*²-16*4-9 = 0.

О 1) Используя формулу (3.6), находим

—7±,/7²—4-5-2 -7+^/9 _-7±3 *^1,2~ 2-5 ~ 10 10 ’

-7-3 , -7+3

^—io ^ь *^2=_й-⁼-^0Л

2. По формуле (3.6) получим

51^/25—4*6 5 ± 1 5-1 ^ 54-1 „

*1,2= 2 *¹⁼~Г⁼²’ *²“=³'

3. По формуле (3.7) получим

*1,2 = 3 + ^/9 —8 = 3± 1, *1 = 2, *2=4. ^:

Это уравнение можно решать и по формуле (3.6).

4. По формуле (3.6) получим

—24±_х/24²—4 - 9 • 16 _ — 24±-у/576—576

*1,2=-

2-9 18

Дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень х= —24/18= —4/3.

5. Находим Z> = 16²—4-8*9 = 256—288<0. Значит, уравнение не имеет действительных корней, ф

51. Решите неполные квадратные уравнения: 1) х² — 2 = 0; 2) у²—у = 0; 3) Зл:²4-6х=8л:² — 9х;

3^-1174-2^_ 5уЧ9_4£-9

8 ⁺ 12 ^_Ш* 6 5

6. (5дг+4)(5лг—4) — 10(лг—2)=4; 7) (х+2)³ + 19=(х+3)³;

8. 0>-3)³+2уф+1)-у³- (2j—I)²—26.

51. Репште квадратные уравнения: 1) х²—6х+8=0; 2) х²+9х+20=0; 3) х²+х-12=0; 4) Эх²—8х+4=0;

16х² + 16л:+3=0; 6) 5л:²-26*-24=0;

7. х²—4х+4=0; 8) 2х²-Зх+8=0.

51. Решите квадратные уравнения:

1. (х—3)²+(х-4)²-(х-5)²-;с=24;

(х-12)² (х-14)² _ х(х-9) х__f

' 6 2 18 9 ’

х(х-7) х-4 _ \\х_

^} 3 3 10

х(2х-3) (3*-1)² _ (х+3)²_

’ 2 5 5

§ 8. Свойства корней квадратного уравнения. Разложение квадратного трехчлена на множители

Теорема Виета (прямая). Если уравнение ах² + 6х+с=0 имеет дейст­вительные корни *i их ₂, то

(*,+*,—Ь,а,

[ Х\Х₂ = с/а.

Если приведенное квадратное уравнение x²+px+q=0 имеет корни х± и х₂, то

1x^2=q.

Теорема Виета (обратная). Если сумма каких-нибудь чисел Xi и х₂ равна —Ь/а(—р), а их произведение равно cja{q), то эти числа являются корнями квадратного уравнения ах² + bx+c=0(x² +px+q=0).

Формула разложения квадратного трехчлена на линейные множители имеет вид

ax²+bx+c=a(x—xi)(x—x₂), (3.10)

где и х₂—корни квадратного трехчлена, а х—переменная.

51. Используя теорему Виета, найти корни квадратного урав­нения *² — 9*4-20 = 0.

О Применяя теорему Виета к данному уравнению, получим

Г*! 4- х₂ = 9,

|х₁л:2 = 20.

Легко установить, что этой системе удовлетворяют только числа 4 и 5. #

51. Составить квадратные уравнения, корни которых: 1) *! = — 2,

*2=4; 2) *1=—3/4, *2=—5/6.

О 1) Используя теорему Виета (обратную), получим

( Xi 4-*2 ⁼ —2+4=2,

[*i*2 = (—2) *4= —8.

Следовательно, заданным корням соответствует квадратное уравнение х² —2*+8 = 0. ⁴

2. На основании теоремы Виета (обратной) имеем \

0. 5 19

Xi+X₂= — - — — —>

*1*2

^х²+|^х+^=0^о(24х² + 38х+15=0). ф

51. Определить знаки корней данного квадратного уравнения, не решая его: 1) 15*²+*—10=0; 2) 5*²—*—10=0; 3) 2*² —

• 13*+12 = 0; 4) 6*² +18* +12 = 0.

О 1) Здесь а>О, 6>0, с<0, D=b²—4ac>0, так как с<0. Следо­вательно, уравнение имеет два различных корня. Согласно теореме Виета, Г *i +х₂ = —1/15,

имеем < ₍ ^ Произведение корней—отрицательное число, поэто-

• Ю/15.

му корни имеют разные знаки. Сумма корней—отрицательное число, следовательно, больший по модулю корень отрицателен.

2. Здесь с<0, поэтому D=b²—4ac>0 и уравнение имеет два корня.

Г*!+*2 = 1/5,

По теореме Виета получим < ₄ „ Произведение корней отрица-

[*1*2= — 10/5.

тельно, следовательно, корни имеют разные знаки. Сумма корней—положи­тельное число, поэтому больший по модулю корень положителен.

3. Так как Z>= 13²—4-2• 12>0, то уравнение имеет два корня. В силу

Г *i+*2 = 13/2,

теоремы Виета получим < Произведение и сумма корней—

[*1*₂ = 12/2.

положительные числа. Следовательно, оба корня положительны.

4. Находим />= 18²—4*6• 12>0, т. е. уравнение имеет два корня. По

Г*!+*₂= —18/6,

теореме Виета получим < Произведение корней—положи-

[ *2*2 = 12/6.

тельное число, а сумма корней—отрицательное; следовательно, оба корня отрицательны. ф

51. Разложить на линейные множители квадратные трехчлены:

1. 2х²-5х-12; 2) 9х²+6х-8; 3) -20х²+7х+6.

О 1) Находим корни трехчлена: —3/2 и 4. По формуле (3.10) получим

2*² — 5*—12 = 2^*+ 2^(*—4)=(2*+3) (*—4).

2. Здесь корни трехчлена равны —4/3 и 2/3. Значит,

9*² + 6*—8 = 9^*+ — ^ = (3*+4) (3*—2).

3. Здесь корни трехчлена равны —2/5 и 3/4. Поэтому

• 20^*+ -^*— ^ = — (5*+2)(4*—3)=(5*+2)(3—4*). ф

51. Решите устно квадратные уравнения, используя теорему Виета: 1) х²—4х+3 = 0; 2) х² — 7х+10 = 0; 3) х² — 2х—15 = 0;

4. х^—х—12 = 0; 5) лг² + 6х+8 = 0; 6) лс² + 2л:—15 = 0.

51. Составьте квадратные уравнения, корнями которых являются числа: 1) 5 и 8; 2) —5 и 2; 3) —4 и —5; 4) 2/3 и 4/5; 5) —1/4 и 3/8;

-2/5 и -5/6; 7) 1/4 и 4; 8) -1/3 и 3.

51. Определите знаки корней квадратных уравнений (не решая уравнений): 1) 6х² + 2л:—11 =0; 2) 4х²—х — 9 = 0; 3) 2л:² — 15л:+ + 11=0; 4) jc²-7jc+10 = 0; 5) 3jc²+13jc + 9 = 0; 6) 2x²-12jc + 9 = 0.

52. Разложите на линейные множители квадратные трехчлены:

2jc²-7x+3; 2) 6а² + 5я-6; 3) З;;²-11^—20; 4) 12jc² + 7jc+1;

5. т² — 2т — 3; 6) 72л:² —67*+15.

2*²—9*+10 3^² + 8^-3

51. Сократите дроби: 1) _z>i+>.,₅; 2) _<гЧЦ)|_₅;

4)

5)

6)

3)

6а²+5а—4 За²+ 19а+20’

4+Зв—а² ^ За²+4в+1 ’

2х²+7*+6 , 12+5jc—2х²’

21^² + 11^-2 15y² + 16j>+4’