Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Практические занятия по математике.doc
Скачиваний:
3
Добавлен:
01.03.2025
Размер:
5.67 Mб
Скачать

§ 7. Решение квадратных уравнений

Уравнение вида ах2 Л-ЬхЛ-с—0, где а, b и с—действительные числа, причем аф 0, а *—переменная, называется квадратным уравнением. Если а= 1, то квадратное уравнение называется приведенным, если аФ 1, то — неприведенным.

Квадратные уравнения вида ах2 0, ах2 + с—0 и ах2Л-Ьх — 0 называются неполными.

Формула корней квадратного уравнения ах2 + Ъх+с=0 имеет вид

-Ь±^/Ь2-4ас *1,2= ^ . (3.6)

где b2—4ac=D—дискриминант квадратного уравнения.

Если D< 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней; если D = 0, то оно имеет один корень —Ь/(2а); если D> 0, то оно имеет два корня.

Приведенное квадратное уравнение х2+рх+ q=0 в случае, когда р— четное число, удобнее решать по формуле

*i.2=-f ±./(^ ) -Ч- (3-7)

  1. Решить неполные квадратные уравнения: 1) 5л:2 = 0;

  1. л:2 + 4х = 0; 3) Зл:2 —27 = 0; 4) л:2+16 = 0.

О 1) (5х 2 = 0) о (х 2 = 0) о (х = 0). Ответ: 0.

[х = —4

лОтвет: —4; 0. х=0.

  1. (3jc2—27=0) <^> (jc 2—9=0) о (jc 2 = 9) о I ^ ’ Ответ: -3; 3.

  2. Г*=-з,

    L*=3.

    He существует такого значения переменной х, чтобы сумма х2+16 приняла значение 0. Следовательно, уравнение корней не имеет. ф

  1. Решить квадратные уравнения:

  1. 5jt2 + 7x+2 = 0; 2) х2 5х+6 = 0; 3) х2 6д:+8 = 0;

4) 9jc2 + 24jc+16 = 0; 5) 8*2-16*4-9 = 0.

О 1) Используя формулу (3.6), находим

—7±,/72—4-5-2 -7+^/9 _-7±3 *1,2~ 2-5 ~ 10 10 ’

-7-3 , -7+3

^—io ь *2=_й-=-

  1. По формуле (3.6) получим

51^/25—4*6 5 ± 1 5-1 ^ 54-1 „

*1,2= 2 *1==2’ *2“=3'

  1. По формуле (3.7) получим

*1,2 = 3 + ^/9 —8 = 3± 1, *1 = 2, *2=4. :

Это уравнение можно решать и по формуле (3.6).

  1. По формуле (3.6) получим

—24±х/242—4 - 9 • 16 _ — 24±-у/576—576

*1,2=-

2-9 18

Дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень х= —24/18= —4/3.

  1. Находим Z> = 162—4-8*9 = 256—288<0. Значит, уравнение не имеет действительных корней, ф

  1. Решите неполные квадратные уравнения: 1) х2 2 = 0; 2) у2—у = 0; 3) Зл:24-6х=8л:29х;

3^-1174-2^_ 5уЧ9_4£-9

8 + 12 * 6 5

  1. (5дг+4)(5лг—4) — 10(лг—2)=4; 7) (х+2)3 + 19=(х+3)3;

  1. 0>-3)3+2уф+1)-у3- (2j—I)2—26.

  1. Репште квадратные уравнения: 1) х26х+8=0; 2) х2+9х+20=0; 3) х2+х-12=0; 4) Эх2—8х+4=0;

16х2 + 16л:+3=0; 6) 5л:2-26*-24=0;

  1. х2—4х+4=0; 8) 2х2-Зх+8=0.

  1. Решите квадратные уравнения:

  1. (х—3)2+(х-4)2-(х-5)2-;с=24;

(х-12)2 (х-14)2 _ х(х-9) х_f

' 6 2 18 9 ’

х(х-7) х-4 _ \\х_

} 3 3 10

х(2х-3) (3*-1)2 _ (х+3)2_

’ 2 5 5

§ 8. Свойства корней квадратного уравнения. Разложение квадратного трехчлена на множители

Теорема Виета (прямая). Если уравнение ах2 + 6х+с=0 имеет дейст­вительные корни *i их 2, то

(*,+*,—Ь,а,

[ Х\Х2 = с/а.

Если приведенное квадратное уравнение x2+px+q=0 имеет корни х± и х2, то

1x^2=q.

Теорема Виета (обратная). Если сумма каких-нибудь чисел Xi и х2 равна —Ь/а(—р), а их произведение равно cja{q), то эти числа являются корнями квадратного уравнения ах2 + bx+c=0(x2 +px+q=0).

Формула разложения квадратного трехчлена на линейные множители имеет вид

ax2+bx+c=a(x—xi)(x—x2), (3.10)

где и х2—корни квадратного трехчлена, а х—переменная.

  1. Используя теорему Виета, найти корни квадратного урав­нения *2 — 9*4-20 = 0.

О Применяя теорему Виета к данному уравнению, получим

Г*! 4- х2 = 9,

1л:2 = 20.

Легко установить, что этой системе удовлетворяют только числа 4 и 5. #

  1. Составить квадратные уравнения, корни которых: 1) *! = — 2,

*2=4; 2) *1=—3/4, *2=—5/6.

О 1) Используя теорему Виета (обратную), получим

( Xi 4-*2 = —2+4=2,

[*i*2 = (—2) *4= —8.

Следовательно, заданным корням соответствует квадратное уравнение х2 —2*+8 = 0. 4

  1. На основании теоремы Виета (обратной) имеем \

  1. 5 19

Xi+X2= — - — — —>

*1*2

2+|^х+^=0^о(24х2 + 38х+15=0). ф

  1. Определить знаки корней данного квадратного уравнения, не решая его: 1) 15*2+*—10=0; 2) 5*2—*—10=0; 3) 2*2

  • 13*+12 = 0; 4) 6*2 +18* +12 = 0.

О 1) Здесь а>О, 6>0, с<0, D=b2—4ac>0, так как с<0. Следо­вательно, уравнение имеет два различных корня. Согласно теореме Виета, Г *i 2 = —1/15,

имеем < ( ^ Произведение корней—отрицательное число, поэто-

  • Ю/15.

му корни имеют разные знаки. Сумма корней—отрицательное число, следовательно, больший по модулю корень отрицателен.

  1. Здесь с<0, поэтому D=b2—4ac>0 и уравнение имеет два корня.

Г*!+*2 = 1/5,

По теореме Виета получим < 4 „ Произведение корней отрица-

[*1*2= — 10/5.

тельно, следовательно, корни имеют разные знаки. Сумма корней—положи­тельное число, поэтому больший по модулю корень положителен.

  1. Так как Z>= 132—4-2• 12>0, то уравнение имеет два корня. В силу

Г *i+*2 = 13/2,

теоремы Виета получим < Произведение и сумма корней—

[*1*2 = 12/2.

положительные числа. Следовательно, оба корня положительны.

  1. Находим />= 182—4*6• 12>0, т. е. уравнение имеет два корня. По

Г*!+*2= —18/6,

теореме Виета получим < Произведение корней—положи-

[ *2*2 = 12/6.

тельное число, а сумма корней—отрицательное; следовательно, оба корня отрицательны. ф

  1. Разложить на линейные множители квадратные трехчлены:

  1. 2-5х-12; 2) 2+6х-8; 3) -20х2+7х+6.

О 1) Находим корни трехчлена: —3/2 и 4. По формуле (3.10) получим

2*2 — 5*—12 = 2^*+ 2^(*—4)=(2*+3) (*—4).

  1. Здесь корни трехчлена равны —4/3 и 2/3. Значит,

9*2 + 6*—8 = 9^*+ — ^ = (3*+4) (3*—2).

  1. Здесь корни трехчлена равны —2/5 и 3/4. Поэтому

  • 20^*+ -^*— ^ = — (5*+2)(4*—3)=(5*+2)(3—4*). ф

  1. Решите устно квадратные уравнения, используя теорему Виета: 1) х24х+3 = 0; 2) х2 7х+10 = 0; 3) х2 — 2х—15 = 0;

  1. х^—х—12 = 0; 5) лг2 + 6х+8 = 0; 6) лс2 + 2л:—15 = 0.

  1. Составьте квадратные уравнения, корнями которых являются числа: 1) 5 и 8; 2) —5 и 2; 3) —4 и —5; 4) 2/3 и 4/5; 5) —1/4 и 3/8;

-2/5 и -5/6; 7) 1/4 и 4; 8) -1/3 и 3.

  1. Определите знаки корней квадратных уравнений (не решая уравнений): 1) 6х2 + 2л:—11 =0; 2) 2—х — 9 = 0; 3) 2л:2 — 15л:+ + 11=0; 4) jc2-7jc+10 = 0; 5) 3jc2+13jc + 9 = 0; 6) 2x2-12jc + 9 = 0.

  2. Разложите на линейные множители квадратные трехчлены:

2jc2-7x+3; 2) 6а2 + 5я-6; 3) З;;2-11^—20; 4) 12jc2 + 7jc+1;

  1. т2 — 2т — 3; 6) 72л:2 —67*+15.

2*2—9*+10 3^2 + 8^-3

  1. Сократите дроби: 1) z>i+>.,5; 2) <гЧЦ)|_5;

4)

5)

6)

3)

2+5а—4 За2+ 19а+20’

4+Зв—а2 ^ За2+4в+1 ’

2+7*+6 , 12+5jc—2х2

21^2 + 11^-2 15y2 + 16j>+4’