§ 6. Парабола со смещенной вершиной

Уравнение параболы с вершиной в точке (а; Ь), с осью симметрии, параллельной оси Ох, и ветвями, направленными вправо (рис. 145, а), имеет вид

(у-Ь)² = 2р(х-а). (1*21)

Уравнение параболы с вершиной в точке (а; Ь), с осью симметрии, параллельной оси Ох, и ветвями, направленными влево (рис. 146,6), имеет вид

(у-Ь)²=-2р(х-а). (19.22)

Уравнение параболы с вершиной в точке (а; Ь), с осью симметрии, параллельной оси Оу, и ветвями, направленными вверх (рис. 146, а), имеет вид

(х—а)² = 2р(у—Ь). (19.23)

Уравнение параболы с вершиной в точке (я; Ь), с осью симметрии, параллельной оси Оу, и ветвями, направленными вниз (рис. 146,6) имеет вид

(х—а)² = — 2р (7—b). (19.24)

В каждом из уравнений параметр параболы р> 0—расстояние от фокуса параболы до ее директрисы.

74. Составить уравнение параболы, имеющей вершину а( 1; 2) и проходящей через точку м (4; 8), если ось симметрии параболы параллельна оси Ох.

О Согласно условию, уравнение искомой параболы имеет вид (19.21), так как точка М(4; 8) расположена правее вершины параболы и, значит, ветви параболы направлены вправо. Для вычисления параметра р подставим в уравнение (19.21) координаты вершины А и точки М: (8—2)² = 2/>(4— 1), откуда р=6. Подставив теперь в уравнение (19.21) найденное значение р=6 и координаты вершины А, получим искомое уравнение (у—2)² = 12 (л:— 1). #

74. Составить уравнение параболы, вершиной которой служит точка А(4; 6), а директрисой—прямая х=— 2.

О Согласно условию, уравнение искомой параболы имеет вид (19.21), поскольку ее директриса перпендикулярна оси Ох и, следовательно, ось параболы параллельна оси Ох, а ветви параболы направлены вправо (директриса расположена левее вершины). Так как расстояние от директрисы до вершины параболы равно р/2, то величина р/2 равна сумме абсолютных величин абсцисс директрисы и вершины параболы, т. е. р/2 = |—2|+4=6, откуда р= 12. Подставив в уравнение (19.21) координаты вершины А и найденное значение р, получим (у—6)² = 24 (х—4). ф

74. Вычислить координаты фокуса параболы у²+4у—24*+ 4-76 = 0.

О Преобразуем уравнение параболы к виду (19.21):

у²+4у=24х—76; у² + 2-2у+2² = 24х-76 + 2²; (у+2)² = 24(х-3), откуда Л(3; —2), 2/?=24, />=12.

Расстояние от вершины параболы до фокуса равно р/2= 12/2=6. Абсцисса фокуса равна 3-Ьр/2 = 3 + 6 = 9. Фокус лежит правее вершины параболы, поскольку ветви параболы направлены вправо; ордината же фокуса равна ординате вершины, так как ось параболы параллельна оси Ох (рис. 147); тогда F(9; -2). ф

74. Дана парабола у² —4у — 20*+ 24 = 0. Составить уравнение ее директрисы.

О Директриса параболы проходит на расстоянии р/2 от ее вершины перпендикулярно оси параболы. Из уравнения параболы найдем р:

у²-4у = 20х-24; у²-2-2у+4=20л:-24+4; (у-2)² = 20(х-1),

откуда а= 1, Ь=2; Л(1;2); 2р=20, pj2 = 5.

Ось симметрии параболы параллельна оси Ох, а ветви параболы направлены вправо, следовательно, директриса проходит левее вершины. Она также проходит и левее начала координат, так как расстояние от вершины до оси Оу равно 1, а от вершины до директрисы равно 5. Абсцисса директрисы равна разности р/2— 1 = 5 — 1 =4, взятой со знаком минус; поэтому уравнение директрисы х=— 4. ф

74. Построить параболу х² — 2х—у—8 = 0.

О I способ. Найдем вершину параболы, преобразовав уравнение у=х² — 2х—8 к виду (19.21):

х²—2х=у+$; х² — 2х+1 =7+8+1; (х—1)²=7+9;

откуда а= 1, Ь=— 9; А( 1; —9).

Найдем точки пересечения параболы с осями Ох и Оу: (—2; 0), (4; 0) и (0; —8). Получим ряд характерных точек (—2; 0), (0; —8), (1; —9) и (4; 0), по которым построим параболу, симметричную относительно оси х=\ (рис. 148).

II способ (применяется в тех случаях, когда парабола пересекает ось Ох). Полагая 7=0, получим уравнение х²—2х—8 = 0, корни которого jCj = —2 и х₂ — 4. Абсцисса вершины параболы равна полусумме абсцисс точек пересечения параболы с осью Ох: х_вср = (х₁+ х₂)/2 = (—2+4)/2= 1. Ординату вершины найдем, подставив значение абсциссы вершины в данное уравнение: 7(1) = I²—2• 1 —8 = —9; А( 1; —9).

Дополнительные точки находим приемом, описанным в I способе построения, ф