74. Составить уравнение параболы с вершиной в начале коорди­нат, если ее фокус находится в точке f(3; 0)

О Фокус параболы лежит на положительной полуоси Ох, следова­тельно, уравнение параболы имеет вид (19.17). Так как координаты фокуса (р/2; 0), то р!2 = 3, откуда р=6. Подставив значение р в уравнение (19.17), получим у² = 12х. ф

74. Составить уравнение параболы с вершиной в начале коорди­нат, если ее директрисой служит прямая х=—4.

О Расстояние директрисы от начала координат равно pj2; следова­тельно, р!2=4, т. е. /7=8. Уравнение этой параболы имеет вид (19.17), так как абсцисса директрисы отрицательна. Подставив в уравнение (19.17) значение параметра р, получим у² = \6х. ф

74. Составить уравнение параболы с вершиной в начале коорди­нат, симметричной относительно оси Оу и проходящей через точку а{4; 2).

О Искомая парабола симметрична относительно оси Оу и проходит через точку А (4; 2); следовательно, ее уравнение имеет вид (19.19). Подставив в это уравнение координаты точки А, найдем р=4. После подстановки в уравнение (19.19) значения р получим х² = 8у. ф

74. Найти координаты фокуса параболы с вершиной в начале координат, если уравнение директрисы х=— 3.

О Расстояние от начала координат до директрисы равно расстоянию от начала координат до фокуса и равно р/2. Из уравнения директрисы х=—3 следует, что р/2 = 3. Уравнению директрисы х=—р/2 соответствует пара­бола у² = 2рх, фокус которой F(3; 0). ф

74. Дана парабола у² = 12х. Найти длину хорды, проходящей через фокус параболы перпендикулярно ее оси.

О Хорда проходит через фокус параболы перпендикулярно ее оси, поэтому абсциссы точек пересечения хорды с параболой равны абсциссе фокуса (рис. 144). Из уравнения параболы найдем координаты ее фокуса: у² = 12х, 2/7= 12, р/2 = 3; F(3; 0).

Для вычисления ординат точек пересечения хорды с параболой подставим значение х=3 в уравнение параболы: у² = 12-3 = 36, откуда У 1,2= ±6. Следовательно, М₁ (3; 6) и М₂ (3; —6)—точки пересечения хорды с параболой. Длина хорды М_ХМ₂ равна 2 FM_X = 2-6=12. ф

74. Составьте уравнение параболы с вершиной в начале коорди­нат, если ее фокус находится в точке: 1) f(5; 0); 2) f(—4; о);

F{0; 2); 4) F{0; -3).

74. Составьте уравнение параболы с вершиной в начале коорди­нат, если ее директрисой служит прямая: 1) х=—2; 2) х=3;

У=-4; 4) 7=1.

74. Составьте уравнение параболы с вершиной в начале коорди­нат, симметричной относительно оси Ох и проходящей через точку:

(5; -3); 2) (-4; 2); 3) (-2; -2).

74. Составьте уравнение параболы с вершиной в начале коорди­нат, симметричной относительно оси Оу и проходящей через точку:

(2; -3); 2) (-3; 1).

74. Составьте уравнение директрисы па­раболы: 1) у² = Sx; 2) у²= —9х; 3) х² = 4у; 4) х²= — 10у.

75. 

    Рис. 144

    По данному ^уравнению параболы вычислите координату ее фокуса: 1) у² = 6х; 2) у²=—4х; 3) х² = 14у; 4) х² = —5у.

76. Найдите координаты фокуса пара­болы с вершиной в начале координат, если ее директриса задана уравнением: 1) х=2; 2) х= —5; 3) у=4; у=-6.

77. Дана парабола у² = 20х. Найдите длину хорды, проходящей через фокус пара­болы перпендикулярно ее оси.

78. Найдите точки пересечения: 1) пара­болы у²= 16х с прямой 2х—7 + 2 = 0; 2) параболы у² = 4х с прямой 2х—37+4 = 0.

79. Найдите точки пересечения парабол: 1) 7 = л:² и х=у²;

у² = 9х и х² = 9у.