41. Составьте уравнение эллипса, если: 1) две его вершины находятся в точках (—5; 0) и (5; 0), а фокусы—в точках (—3; 0) и (3; 0); 2) две его вершины находятся в точках (0; —8) и (0; 8), а фокусы—в точках (—5; 0) и (5; 0); 3) две его вершины находятся в точках (0; —4) и (0; 4), а фокусы—в точках (0; —2) и (0; 2).

42. Составьте уравнение эллипса, если: 1) расстояние между фокусами равно 10 (фокусы лежат на оси Ох) и большая ось равна 12; 2) фокусами служат точки ( — 2; 0) и (2; 0), а малая ось рав­на 8.

43. Составьте уравнение эллипса, фокусы которого находятся в точках (0; — у/з) и (0; у/з), а большая ось равна V?.

44. Найдите координаты вершин и длины осей эллипса: 1) *²/25+7²/9=1; 2) jc²/16+7²/81 = 1.

45. Найдите координаты фокусов и расстояние между фокусами эллипса: 1) х²/\2+у²/3=\; 2) jc²/104-7²/26 = 1.

46. Вычислите эксцентриситет эллипса: 1) х²/25+у²/9 = \; 2) х²/1 +у²/16= 1.

47. Составьте уравнение эллипса, фокусы которого находятся в точках К/зГо) и (Уз; 0), а эксцентриситет е=\/3.

48. Составьте уравнение эллипса с фокусами на оси Ох, если расстояние между фокусами равно 12, а эксцентриситет е = 0,6.

49. Составьте уравнение эллипса с фокусами на оси Ох, если: 1) большая ось равна 10, а эксцентриситет е=0,6; 2) малая ось равна

а эксцентриситет е = 0,6.

41. Составьте уравнение эллипса с фокусами на оси Ох, если: 1) сумма полуосей равна 8 и расстояние между фокусами равно 8; 2) сумма полуосей равна 25, а фокусы имеют координаты (—5; 0) и (5; 0).

42. Составьте уравнение эллипса с фокусами на оси Ох, если он проходит через точки: 1) а (6; 4) и 2? (8; 3); 2) а (у/2; 2) и в (2; у/з).

43. Найдите координаты точек пересечения: 1) эллипса х ²/225 4- +у²/25=1 и прямой х+Зу — 21 =0; 2) эллипса х²/25+у²/9=\ и прямой 3x4-57—21=0.

44. Найдите: 1) длину отрезка прямой *4-47—28 = 0, заключен­ного внутри эллипса лг²/400+7²/25 = 1; 2) длину отрезка прямой х—2у—2 = 0, заключенного внутри эллипса jc²/ 1004~7²/25 = 1.

§ 4. Гипербола

Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютная вели­чина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (2а), меньшая расстояния между фокусами (2с).

Уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси Ох, имеет вид

где а—длина действительной полуоси; b—длина мнимой полуоси (рис. 140). Зависимость между параметрами а, b и с выражается соотношением

Рис. 140

b² = c²—a². (19.9)

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстоя­ния к ее действительной оси:

е=с/ц=у/а² + Ь²/а> 1.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых

у=±(Ь/а)х. (19.11)

Если действительная и мнимая оси гиперболы равны (т. е. а=Ь), то гипербола называется равносторонней. Уравнение равносторонней гипер­болы записывается в виде

(19.12)

(19.13)

х²—у² = а²,

а уравнения ее асимптот

у= ±*.

(19.10)

Если фокусы гиперболы лежат на оси Оу (рис. 141), то ее уравнение имеет вид

х² у²

(19.14)

(19.15)

у² х²

а² Ь^{2 ИЛИ} Ь² а^{2 Ь} а уравнения асимптот такой гиперболы

У= ±(а/Ь)х.

Формулы (19.9) и (19.10) для гиперболы с фокусами на оси Оу остаются без изменений.

Гиперболы (19.8) и (19.14) называются сопряженными.

Уравнение равносторонней гиперболы с фокусами на оси Оу име­ет вид

у2__х²=а². (19.16)

Во всех задачах на гицерболу предполагается, что оси симметрии гиперболы совпадают с о<Ц[ми координат.

Составить уравнение гиперболы, если ее вершины находятся в точках ^i(—3; 0) и Л₂(3; 0), фокусы — в точках 5;0) и

F₂(5; 0).

О Из условия следует, что а = 3 и с = 5. По формуле (19.9) находим Ь² = 5² —3²= 16. Подставив значения а² и b² в уравнение (19.8), получим х²/9—у²/\6= 1. ф

41. Дано уравнение гиперболы х²/$\—у²/\44=\. Найти коорди­наты ее вершин и фокусов.

О Из уравнения гиперболы имеем а² = 81, а=±9. По формуле (19.9) находим с² = 81 +144=225, с=±15. Следовательно, вершинами гиперболы служат точки (—9; 0) и (9; 0), а фокусами—точки (—15; 0) и (15; 0). ф

41. Дано уравнение гиперболы х²/25—у²/\\ = \. Найти ее эксцентриситет.

О Из уравнения гиперболы имеем а² = 25, 6² = И. Эксцентриситет вычисляется по формуле (19.10): е=.>/25 +11/5 = 6/5. ф

41. Дано уравнение гиперболы jc²/ 144—jp²/256= 1. Составить уравнения ее асимптот.

О Из уравнения гиперболы найдем я =12, 6=16. Подставив значения а и b в равенства (19.11), получим у= ±(\6/\2)х, или у= ±(Л/3)х. ф

41. Составить уравнение гиперболы, если известны координаты ее фокусов ( — 20,0) и (20; 0) и эксцентриситет е = 5/3.

О Из условия имеем с=20, е=с/я=5/3. Подставив в это равенство значение с, получим 20/я=5/3, т. е. я=12. Далее, по формуле (19.9) найдем 6² = 20² —12² = 256. Подставив значения а² и Ъ² в уравнение (19.8), получим *²/144-7²/256=1. •

73. Составить уравнение гиперболы, если ее асимптоты за­даны уравнениями у= ±(_ч/б/3)х и она проходит через точку

Подставив теперь значения а² и Ъ² в уравнение (19.8), получим х²/12— -у²!8 = 1. •

74. Найти вершины, фокусы, эксцентриситет и асимптоты гиперболы х²/36—j;²/64= — 1.

О Уравнение данной гиперболы имеет вид (19.14), т. е. фокусы ее лежат на оси Оу. Из уравнения получим а² = 64, а= +8 и 6² = 36, Ь=±6. Вершины гиперболы находятся в точках ^(0; —8) и Л₂(0; 8). По формуле (19.9) имеем с² = 64+36= 100, с= + 10; следовательно, фокусами служат точки ^(0; —10) и F₂ (0; 10). Эксцентриситет вычислим по формуле (19.10): ^=5/4. Асимптоты гиперболы найдем по формуле (19.15); у= ±(4/3)х. ф