§ 2. Окружность

Окружностью называется множество всех точек плоскости, равно­удаленных от данной точки этой плоскости, называемой центром.

Уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом г имеет вид

х²+у² = г². (19.1)

Уравнение окружности с центром в точке 0₁ (а; Ь) и радиусом г имеет

вид

(х-а)² + {у-Ь)² = г². (19.2)

Уравнение окружности в общем виде записывается так:

Ax² + Ay² + Bx+Cy+D = 0, (19.3)

где А, В, С и D—постоянные коэффициенты.

12. Составить уравнение окружности с центром в точке (5; —7) и проходящей через точку (2; —3).

О Найдем радиус окружности как расстояние от центра до данной ее точки: г=у/(2— 5)² 4- [—3—(—7)]² = 5. Теперь в уравнение (19.2) подставим координаты центра и найденную величину радиуса: (х—5)²+(у+7)² = 25. ф

12. Составить уравнение окружности, проходящей через точки

А(3; 1), В(-2; 6) и С(-5; -3).

О Пусть О_х(а;Ь)—центр искомой окружности; тогда 0₁А = 0₁В=0₁С как радиусы одной и той же окружности. Имеем 0₁А—у/(а—З)² + (b— I)²; O_iB=_s/(a+2f+{Ь-Ь)²; 0₁C=_v/(a+5)²+(*+3)². Составим систему урав­нений относительно неизвестных а и Ъ и решим ее:

Г\/(^а“3)² + (/>— 1)²=\/(а+2)²4-(6—б)²^ 1%/(^^—3)²+(6— I)²=>/(я+5)²+(6+З)²

Находим r=0₁A=_s/(—2—3)²+(1 —1)² = 5. Следовательно, искомое урав­нение окружности имеет вид (х+2)²+(у— I)²=25. ф

12. Составить уравнение окружности, касающейся оси абсцисс в точке а (3; 0) и имеющей радиус, равный 6.

О Пусть 0₁(а;Ь)—центр окружности (рис. 134). Абсцисса точки каса­ния и центра окружности одна и та же (я=3). Найдем ординату центра окружности Ь:

(3 — З)²+(0—Ь)² = 6²; Ь= ±6,

т. е. имеется два центра: О_х(3; 6) и 0₂(3; —6).

Отсюда получаем уравнения двух окружностей, удовлетворяющих данным условиям: (х—3)²+(у—6)² = 36 и (х-3)²+(у+6)² = 36. ф

12. Составить уравнение окружности, касающейся оси ординат и проходящей через точки а(4; 5) и 2?(18; —9).

О Пусть (а; Ь)—центр искомой окружности (рис. 135). Проведем радиус в точку касания С(0; b). Радиус окружности г—а. Составим и решим систему уравнений:

U(a-4)²+(b-5)²=a, fe²-106-8a+41 =0, J>=34, 6=21), ц/(в— 18)²+(6+9)²=a l.^²+186—36e+405 = 0 [_(^а=Ю> b= —3).

Следовательно, имеется два центра О! (34; 21) и 0₂(1О;—3) и два значения радиуса = 34 и г, = 10, т. е. условию задачи удовлетворяют две окружности: (х—34)²Ч-(у—21)² = 34² и (х— 10)²+(у + 3)² = 10². ф

12. Составить уравнение ок­ружности, касающейся осей ко­ординат и проходящей через точку ^4(18; —4).

О Центр искомой окружнос­ти, касающейся осей координат и проходящей через точку IV коор­динатного угла, имеет координаты 0₁(а; —а), где а>0. Радиус окруж­ности г=а (рис. 136). Следователь­но,

у/(а—18)²+(—а+4)²=ао(а² —44а+

+ 340 =

Таким образом, имеется два центра 0₁(34; —34) и 0₂(Ю; —10) и два значения радиуса ^ = 34 и г₂ = Ю, т. е. условию задачи удовлетворяют две окружности: (х—34)²+(у+34)² = 34² и (х— 10)² + (у+10)² = 10². ф

12. Центр окружности находится в точке O_l(—3; 1). Составить уравнение окружности, если она касается прямой 4х+3у—16 = 0.

О Так как угловой коэффициент касательной k_t = — 4/3, то угловой коэффициент прямой О_хА, перпендикулярной касательной (рис. 137), к₂ = 3/4. Поэтому уравнение прямой О_гА имеет вид

3

у—\ =-(jc+3), или Зх—4у+13 = 0.

Решим систему уравнений

о(х= 1,^=4); А( 1;4).

1:

^4х+3у—16=0, Зх—4у+13=0

Теперь находим г=0₁Л = _ч/(—3 —1)²+(1—4)² = 5. Следовательно, иско­мое уравнение имеет вид (х+3)²+(у— I)² ==25. ф

12. Найти координаты центра и радиус окружности х²+у² —

8х—107 — 8 = 0.

О Перепишем данное уравнение в виде х² — 8х+у² —10^ = 8. Дополнив двучлены х² — 8х и у² — 10у до полных квадратов, получим

х²—2-4л:+4²+7²—2*57+5² = 8+4² + 5², или (х—4)²+(у—5)²=49,

откуда а=4, Ь=5, г=7, т. е. центр окружности—точка (4; 5), а радиус равен 7.

12. Составьте уравнение окружности: 1) с центром в начале

координат и радиусом, равным у/3; 2) с центром в точке (—2; —5) и радиусом, равным 3. Постройте эти окружности.

12. Составьте уравнение ок­ружности: 1) с центром в точке (— 1; 4) и проходящей через точку (3; 5); 2) с центром в точке (— 3; 0) и проходящей через точку (2; 4).

13. Составьте уравнение ок­ружности, концы диаметра ко­торой имеют координаты: 1) j0; 3| и (6; -7) 2) (-2; 3) и

14. Составьте уравнение ок­ружности, диаметром которой служит заключенный между осями координат отрезок прямой: 1) 4x+3j;—24=0; 2) 5х—47+40=0.

15. Составьте уравнение окружности, проходящей через начало координат и имеющей центр в точке: 1) (—2; 3); 2) (3; —5).

16. Найдите координаты точек пересечения окружности х² + +7² —8х — 2у — 8 = 0 и прямой 4х+3у—19 = 0.

17. Составьте уравнение окружности, проходящей через точки:

1. (2; 8), (4; -6) и (-12; -6); 2) (-2; -6), (-3; 1) и (4; 2).

12. Составьте уравнение окружности, описанной около треуголь­ника, стороны которого лежат на прямых: 1) х—7+4 = 0, Зх+у—

• 16 = 0 и х+2у—2 = 0; 2) 2х—у + 2 = 0, х—Зу —14 = 0 и х+у—2 = 0;

2. 4х — 3у—17 = 0, 1х+у—6\ =0 и х-1у-13 = 0.

12. Составьте уравнение окружности, касающейся оси ординат в точке А (0; 4) и имеющей радиус, равный 5.

13. Составьте уравнение окружности, касающейся оси абсцисс и проходящей через точки А{1\ 8) и В(6; 9).

14. Составьте уравнение окружности, касающейся осей коорди­нат и проходящей через точку А (8; 9).

15. Составьте уравнение окружности, проходящей через точки А(8; 5) и В(— 1; — 4) и имеющей центр на оси абсцисс.

16. Составьте уравнение окружности, проходящей через точки А(3; 7) и В (5; —1) и имеющей центр на оси ординат.

17. Составьте уравнение окружности: 1) проходящей через точки А(—8; 3) и В (2; —7), если центр ее лежит на прямой *+47+16 = 0;

2. проходящей через точки М(3; 2) и N(—1; — 6), если центр ее лежит на прямой, пересекающей оси координат в точках А (2; 0) и Я(0; -4).

12. Центр окружности находится в точке (—1; —4). Составьте уравнение окружности, если она касается прямой, пересекающей оси координат в точках ^4 (9/4; 0) и /?(0; 3).

13. Найдите координаты центра и радиус окружности: 1) х²+у² + 6jc—107+13=0; 2) х²+у²+ 12у-13=0; 3) 4х²+47²-4л:+207-23=0,

2. л:²+7²—4х— 107+29=0; 5) х²+у² + 6х+ 147+81 =0.

12. Найдите расстояние между центрами окружностей: 1) х² + +7²— 10х+167 + 80 = 0 и лг²+7² + 6х+47— 12 = 0; 2) x²+7²+4x—

• 127 + 36 = 0 и jc²+7² — 8jc+107+5 = 0.

41. Составьте уравнение прямой, проходящей через центры окружностей: 1) х²+у² — %х—4у + И =0 и х²+у²+4х+ 127+4 = 0; 2) х²+у²+4х—6у—23 = 0 и л:²+7² —Юл:—147 + 58 = 0.

42. В окружности х²+у² + 6х—4у—12 = 0 диаметр образует угол 60° с осью абсцисс. Составьте уравнение диаметра.

43. Дана окружность х²+у² — 8х—27 + 4 = 0. Составьте уравнение диаметра, перпендикулярного хорде jc—57—12 = 0.

44. Дана окружность х²+7² + 4л:—67 = 0. Составьте уравнение диаметра, перпендикулярного хорде 2л; — 37+13 = 0.

45. Составьте уравнение радиуса: 1) проведенного в точку Л(5; —6) окружности л:²+7² —6л:+27—19 = 0; 2) проведенного в точку Л(6; 3) окружности л:²+7² —6л:—9 = 0.

46. Составьте уравнение общей хорды двух пересекающихся окружностей: л:²+7² + 2л:+27 —23 = 0 и л:²+7² —26л:—27+45 = 0.

47. Составьте уравнение окружности: 1) проходящей через точку Л(4; — 7) и концентрической с окружностью л:²+7²+4л:—27—11=0;

проходящей через точку А (5; 6) и концентрической с окружностью л:²+7² — 2л:+67 +1 = 0.