89. На прямой 2х + 3у—18 = 0 найдите точку, которая отстоит от оси Оу в три раза дальше, чем от оси Ох.

90. Составьте уравнение прямой, проходящей через начало координат и образующей с осью Ох угол, в два раза больший угла, образуемого с осью Ох прямой у=0,2х.

91. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку (8; 5) и образующей с осью Ох угол, в два раза больший угла, образуемого с осью Ох прямой х—4у+4=0.

92. Найдите уравнения прямых, проходящих через точку (—7; 8) под углом 45° к прямой Зх—5у+15 = 0.

93. Найдите уравнения перпендикуляров к прямой 5х—4у— —20=0, восставленных в точках пересечения ее с осями координат.

94. Треугольник задан вершинами: А(—5; —2), В(1; 6) и С (5; —4). Найдите: 1) уравнение стороны АВ; 2) уравнение медианы, проведенной из вершины А; 3) уравнение высоты, проведенной из вершины С; 4) углы В и С; 5) центр тяжести этого треугольника.

95. Даны две параллельные прямые х—у — 1 — 0 и х—у+3=0. Составьте уравнение параллельной им прямой, которая делит расстояние между ними в отношении 3:2 (в направлении от прямой с меньшей начальной ординатой к прямой с большей начальной ординатой).

96. К прямой, проходящей через точки а(—4; 2) и в (8; 4), проведен перпендикуляр через точку, которая делит расстояние ав (от а к в) в отношении 3:4. Составьте уравнение перпендикуляра.

97. Даны уравнения двух сторон ромба Зх—10^+37=0 и 9х-\-2у—17=0 и уравнение одной из его диагоналей Зх—2у—19=0. Найдите уравнения двух других сторон ромба и второй его диагонали.

98. Даны уравнения двух сторон параллелограмма Зх—2^+12=0 и х—Зу+11 =0 и точка пересечения его диагоналей (2; 2). Составьте уравнения двух других сторон параллелограмма и его диагоналей.

99. Две стороны, исходящие из одной вершины параллелограмма, заданы соответственно уравнениями 5х—3^+28=0, х—Зу—4=0; коор­динаты противоположной вершины параллелограмма (10; 6). Составьте уравнение двух других сторон параллелограмма и его диагоналей.

100. Две противоположные вершины квадрата находятся в точках а(— 1; 1) и с(5; 3). Составьте уравнения сторон и диагоналей этого квадрата.

101. Составьте уравнения катетов прямоугольного равнобед­

ренного треугольника, если уравнение его гипотенузы х—2у—3 =0, а вершиной прямого угла служит точка С(1; 6).

89. Луч света, выйдя из точки А{3; 10), отражается от прямой 2х+у—6=0 и после отражения проходит через точку В(1; 2). Составьте уравнения падающего и отраженного лучей.

ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА

1. вариант

Треугольник задан вершинами: А(-1;3), В(2; -1) и С(-1; -5). Найдите: 1) уравнение прямой AM, параллельной стороне ВС; 2) урав­нение медианы AD; 3) уравнение вы­соты BF; .4) угол В; 5) уравнение биссектрисы CN.

2. вариант

Треугольник задан вершинами: А(-8; -2), В(2; 10) 'и С(4; 4). Най­дите: 1) уравнение прямой BN, па­раллельной стороне АС; 2) урав­нение медианы CD; 3) уравнение высоты АЕ; 4) угол В; 5) центр тя­жести этого треугольника.

Г лава 19 КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА

§ 1. Множества точек на плоскости

Уравнению с переменными х и у соответствует на плоскости некоторая линия как множество точек, координаты которых удовлетворяют этому уравнению. Обратно: линии на плоскости, представляющей множество точек, соответствует некоторое уравнение с переменными х и у.

Чтобы составить по условию задачи уравнение множества точек на плоскости, нужно установить зависимость между переменными величинами х и у (координатами произвольной точки, принадлежащей этому множеству точек) и данными в задаче постоянными величинами (параметрами) и записать эту зависимость уравнением.

1. Составить уравнение множества точек на плоскости, равно­удаленных от точек а (2; 4) и в(4; 6).

О Пусть точка М принадлежит искомому множеству точек (рис. 131), тогда МА = МВ. Так как МА = yj(x—2)² + (у—4)², MB=у/[х—4)² + (у—6)², то

\У(х-2)²-(у-4,)²=^/(х-4)²+(у-⁶)².

Рис. 131

После возведения левой и правой частей в квадрат и упрощений получим

(•*—2)²+(у—4)²=(х—4)²+(у—6)², или х-\-у—8=0.

Множеством точек, обладающих ука­занным в условии свойством, является прямая х+у—8 = 0. Эта прямая, как известно, является серединным перпенди­куляром к отрезку АВ. ф

2. Найти множество точек на плоскости, удаленных от начала ко­ординат на расстояние г.

О Из условия следует, что для любой точки М(х\ у), принадлежащей искомому множеству, справедливо равенство ОМ=г. Так как ОМ=

=у/х²+у², то отсюда получаем

у/х²+у² = Г, или х²+у² = г².

Искомое множество точек есть окружность с центром в начале координат и радиусом г (рис. 132). #

2. Составить уравнение множества точек на плоскости, отноше­ние расстояний которых от точки А(1; 0) и от прямой х=9 равно Л=1/3.

О Из условия следует, что для любой точки М(х\ у) искомого множества справедливо соотношение МА: MB—1/3 (рис. 133). Так как МА = у/(х— \)²+у², MB=yJ(x—9)² = \x—91, то

Возведя левую и правую части в квадрат и упрощая, полу­чим

9(*-1)² + 9у² = |*-9|², т. е. 8*² + 97² = 72, или jc²/9-h^²/8 = 1. •

2. Составьте уравнение множества точек на плоскости, равно­удаленных от точек А(—4; 2) и В (6; —8).

3. Составьте уравнение множества точек на плоскости, от­стоящих от точки А (6; 0) в 3 раза дальше, чем от точки В(2; 0).

4. Составьте уравнение множества точек на плоскости, сумма квадратов расстояний которых от двух данных точек А{—6; 0) и В(6; 0) есть величина постоянная, равная 104.

5. Составьте уравнение множества точек на плоскости, сумма квадратов расстояний которых от двух данных точек А(0; —2) и 1?(0; 2) есть величина постоянная, равная 33.

6. Найдите уравнение множества точек на плоскости, отношение расстояний которых от точки ^4 (3; 0) и от прямой х=12 равно Л=1/2.

7. Составьте уравнение траектории точки М, которая при своем движении по плоскости остается вдвое ближе к точке А(\\ 0), чем к прямой х=4.

8. Составьте уравнение множества точек на плоскости, каждая из которых находится вдвое ближе к прямой х=2, чем к точке А{8; 0).

И. Найдите уравнение траектории точки М(х; у), которая при своем движении по плоскости остается втрое ближе к прямой х=1, чем к точке А (9; 0).

12. Составьте уравнение множества точек на плоскости, равно­удаленных от оси Ох и от точки А (0; —2).

13. Составьте уравнение множества точек на плоскости, равно­удаленных от оси Оу и от точки А (3; 0).

14. Составьте уравнение множества точек на плоскости, равно­удаленных от: 1) прямой х — 4 и точки А( — 2; 3); 2) прямой у=— 2 и точки А( — 3; 4).

15. Найдите уравнение траектории движения точки на плоскости, если квадрат ее расстояния от точки А (2; —1) равен квадрату расстояния от оси Ох.

16. Найдите уравнение траектории движения точки на плоскости, если квадрат ее расстояния от точки А(—3; 4) равен удвоенному квадрату расстояния ее от оси Ох.