89. 88. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М (—2; 4) параллельно прямой 2jc—3>>4-6 = 0 (рис. 128).

    О Записав уравнение данной прямой в виде ^=(2/3) jc+2, найдем ее угловой коэффициент ki = 2/3. Так как данная и искомая прямая парал­лельны, то их угловые коэффициенты равны, т. е. к₂—к₁ — 2/3. Искомая прямая проходит через точку М (—2; 4) и имеет угловой коэффициент fc₂ = 2/3. Поэтому ее уравнение записывается в виде

    

    Проверьте, параллельны ли следующие прямые: 1) 2х — Зу+ 4-4 = 0 и Юл:—15^—7 = 0; 2) 25*4-20}'—8 = 0 и 5лг+4>>+4 = 0; 3) у= = — 2x4-8 и ^= —2х+1; 4) у — 3x4-4 и у= — Зх + 2.

90. При каком значении параметра а прямые (х— 1)/2=(у+4)/5 и (х4-6)/4=(у—2)/а параллельны?

91. Составьте уравнение прямой: 1) проходящей через точку А(—3; 2) параллельно прямой 5х—3^4-21 =0; 2) проходящей через точку А(— 1; —4) параллельно прямой х/44-;и/3 = 1.

92. Составьте уравнение прямой: 1) проходящей через точку м(—3; —1) параллельно прямой (ав), где а(—2; 6) и I?(3; — 1);

проходящей через точку (1; —4) параллельно прямой АВ, где А(-3; 1) и В(3;2).

89. Составьте уравнение прямой: 1) проходящей через точ­ку пересечения прямых х+у—4 = 0 и х—у = 0 параллельно прямой х—4^+4 = 0; 2) проходящей через точку пересечения прямых х/6+у/3 = 1 и х/34-.у/6=1 параллельно прямой х—2у—6 = 0.

§ 9. Условие перпендикулярности двух прямых

Условие перпендикулярности двух прямых, заданных общими уравне­ниями А₁х-\-В₁у+С₁=0 и А₂х+В2У+С₂ = 0, имеет вид

А±А₂-{- В}В₂⁼0.

Условие перпендикулярности прямых, заданных уравнениями с угло­выми коэффициентами у=к₁х+Ь₁ и у=к₂х+Ь₂, имеет вид к₂= — 1/к₁, или к₂к₁ = — 1.

Рис. 129

Условие перпендикулярности двух прямых, заданных каноническими уравнениями (х—х₁)/т₁=(у—у₁)1п₁ и (х—х₂)/т₂={у—у₂)/п₂, имеет вид

т₁т₂+п₁п₂ = 0.

Расстояние d от точки М₁(х₁; у^ до прямой Ах+Ву+С=0 вычисляется по формуле

d=-

| Ах₁ +By_t 4- С\

(18.14)

89. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(2; 3) перпендикулярно прямой 5х—4>>—20=0 (рис. 129).

О Найдем угловой коэффициент данной прямой ^ = 5/4. Тогда угловой коэффициент искомой прямой к₂= —4/5 и, следовательно, ее уравнение имеет вид

4

у—3 = —-(jc—2), или 4х+5у—23=0. ф

89. Найти расстояние от точки М(6; 8) до прямой 4х 4- Зу+ 2 = 0.

О По формуле (18.14) получим

^_[4-6+3^8+2|_₁₀

89. Найти расстояние между двумя параллельными прямыми 4x+3y-S = 0(AB) и 4х 4- 3>>—33 = 0(CD).

О На прямой АВ возьмем произвольную точку, например точку А (2; 0) пересечения этой прямой с осью Ох (рис. 130). По формуле (18.14) найдем расстояние от точки А (2; 0) до прямой 4х+3у—33=0:

|4-24-3-0—331

</=-

J&+3²

89. Проверьте, перпендикулярны ли следующие прямые: 1) Зх—4у+12 = 0 и 4x4-37—6 = 0; 2) 4х4-5у—8 = 0 и Зх—2>>4-4=0; 3)

(x-x₁)/2=(j;-j₁)/3 и {x-x₂)/3=(y-y₂)J(-2); 4) {x-xJ/S={y-.y^l (-4) и (x-x₂)/4=(y-y₂)/5.

89. При каком значении параметра к прямые у=5х—4 и у=кх — 2 перпендикулярны?

90. Составьте уравнение прямой: 1) проходящей через точку М(4; —3) перпендикулярно прямой 5дг—2^+10 = 0; 2) проходящей через точку М( —4; 1) перпендикулярно прямой х/5— у/6=\; 3) проходящей через начало координат перпендикулярно прямой 2х + 3у—12 = 0.

91. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку (2; 4) перпендикулярно прямой MN, где М( — 2; 6) и N(3; —3).

92. Прямая проходит через точки ( — 4; 1) и (2; —5). Через точку ее пересечения с осью Оу перпендикулярно данной проходит другая прямая. Составьте уравнения этих прямых.

93. Составьте уравнение прямой, проходящей через начало координат перпендикулярно прямой, пересекающей ось Ох в точке (2; 0) и ось О у в точке (0; —6).

94. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых х+2у+4 = 0 и Зх—у—9 = 0 перпендикулярно прямой х+у — 7 = 0.

95. Прямая проходит через точку пересечения прямых х+у —

5 = 0 и х—у~\~3 = 0 перпендикулярно прямой, пересекающей ось Ох в точке ( — 2; 0) и ось Оу в точке (0; —3). Составьте уравнение этой прямой.

89. Прямая проходит через середину отрезка АВ перпендику­лярно ему. Составьте уравнение этой прямой, если: 1) А ( — 2; 1), В(4; 4); 2) А(-1; 4), В(3; -2).

90. Прямая проходит через середину отрезка прямой Зх—1у + + 21=0, заключенного между осями координат, перпендикулярно этому отрезку. Составьте уравнение прямой.

91. Составьте уравнения высот треугольника, вершинами кото­рого служат точки: 1) (-4; 2), (6; 5) и (1; —4); 2) (2; —3), (7; 2) и (-8; -2); 3) (4; 2), (6; -5) и (-5; 4).

92. Составьте уравнения высот треугольника по уравнениям его сторон: 1) 11^+2^ — 21 =0, 8х—3j + 7 = 0 и Здг+5^+21=0; 2) 2х—j + 5 = 0, х+у — 5 = 0 и х—2у—5 = 0; 3) Зх—10^ + 28 = 0, 5х + 4у+ + 26 = 0 и 4х — Зу—4 = 0.

93. Найдите расстояние: 1) от точки М( — 2; 4) до прямой 4х—Зу—5 = 0; 2) от точки (4; 6) до прямой Зл:+4у+14 = 0.

94. Найдите расстояние между двумя параллельными прямыми:

4jc + 3^ + 33 = 0 и 4х+3у—17 = 0; 2) 12^+5^—101 =0 и 12х+ + 5^ + 68 = 0.