§ 4. Неравенства с одной переменной, содержащие переменную под знаком модуля

Модуль действительного числа х (обозначается |х|) равен самому числу х, если х положительно, равен числу—х, если х отрицательно, и модуль нуля равен нулю:

Г jc при х^О;

1^1

[ —х при х<0.

При решении неравенств, содержащих переменную под знаком модуля, используют следующие равносильные преобразования:

(3.1)

(3.2)

при х= —3.

[х<а;

х< — а, х>а.

Зх³4-1

2х² 4“ 2 = |-4|=4. ф

Зх3+1		3(-3)3+1		-80
2л:2+2		2(—3)2 + 2		20

| х | > 0<=>^

30. Найти числовое значение выражения

О Имеем

х <а<

31. Решить неравенство | л:—51 < 3.

О Согласно формуле (3.1), получим систему неравенств

^ Г*—5> —3, (х>2,

\х—5|<3«>< о< Ответ: 2<jc<8.

5<3 |х<8.

Геометрической иллюстрацией решения неравенства служит множество точек, расстояние от которых до точки 5 не превосходит 3. %

31. Решить неравенство | jc—41 > 5.

О Согласно формуле (3.1), приходим к совокупности неравенств:

. л I с Г 4< —5, Г*<-1,

oo<x< — 1 или 9<х< +оо. •

х—41 > 5<=>\ о Ответ: —

[*-4>5 L*>9.

31. Найдите числовые значения выражений:

х² + 5

5х—1

о

3)

х³-\ а— 1

х—5 z

а² + 2

z—2

при х = 3; 2) при z= 1; 4)

1

при Й=- -.

при лг= —2;

31. Решите неравенства: 1) |л:—21<4; 2) |л:+8|<1; 3) |л:+71<5;

|л:—а|<е; 5) |jc—3|<1.

31. Решите неравенства: 1) |jc+3|>2; 2) |л:—51>8; 3) \ 2х—41>2;

|3jc + 6|^3; 5) |2jc-2|^1.

§ 5. Решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными

1. Уравнения и системы уравнений с двумя переменными. Уравнение с двумя переменными х и у записывается в виде / (х, ^) = 0, где /—выражение с переменными х и у. Решением такого уравнения называется упорядоченная пара чисел (х₀; у о), при подстановке которых в данное уравнение получается верное числовое равенство f (х₀, ^о) = 0-

Система уравнений с двумя переменными х и у в общем виде записывается так:

(■/(*, >’)=0,

^)=о.

Решением системы уравнений называется упорядоченная пара чисел, являю­щаяся решением каждого из уравнений, входящих в систему.

Две системы уравнений называются равносильными, если множества решений этих систем совпадают.

2. tfi

   а₂ Ь₂

   Решение систем двух линейных уравнений с двумя переменными. Опре­делителем второго порядка, составленным из чисел а_и bi, а₂, Ь₂, называется число, определяемое равенством

--аф₂-а₂Ь1.

Числа а _и Ь_и а₂ и Ь₂ называются элементами определителя, причем эле­менты tfi и Ь₂ образуют главную диагональ, а элементы а₂ и Ь_х—побочную диагональ. Таким образом, определитель второго порядка равен произведе­нию элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными

(а₁х+Ь₁у=с₁,

\а₂х+Ь₂у=с₂

ФО, имеет единственное

(3.3)

при условии, что определитель системы Д= решение, которое находится по формулам

Cl bi		01 Ci
сг b2	Ax	02 C2	Ay
ai bi	■” Д ’ ^	01 bi	A
a2 Ьг		02 b2

х=

Равенства (3.3) называются формулами Крамера.

Здесь Д* и А_у—определители, получающиеся из определителя А заменой столбца коэффициентов при соответствующей переменной столбцом свобод­ных членов.

Если же определитель системы Д=0, то система является^ либо несов­местной (когда Д_х#0 и Лу/О), либо неопределенной (когда Д_х=Д_у=0). В последнем случае система сводится к одному уравнению, а другое явля­ется следствием этого уравнения.

Условие несовместности системы можно записать в виде

aila₂=b₁lb₂*c₁/c₂, а условие неопределенности—в виде

01/02 = bi/b₂ — Ci /с₂.

31. Решить системы уравнений:

1. {2х-3у=2, [4л: —6^=3.

   3)

   |Зх+4у= 18, 2) ГЗх—2у=1, [2x+5j; = 19; \бх—4у=2;

О 1) Так как Д =

= 15 — 8 = 7^0, то система имеет единственное

18	4			3	18
19	5	90-76 „ •=—^—=2;	y=-	2	19

решение, которое находим по формулам (3.3):

57-36

(2; 3).

= 3. Ответ:

3. -2 6 -4

циональны коэффициентам при переменных: 3/6 = (—2)/(—4)= 1/2. Поэтому данная система равносильна одному из уравнений, например первому, и, сле­довательно, имеет бесконечное множество решений.

2. -3

Находим Д= = — 12+12=0. Здесь свободные члены не про-

4. —6

порциональны коэффициентам при переменных: 2/4=(—3)/(—6) ^2/3; по­этому данная система несовместна, ф

^ _w (ах+2у = а, 37. Решить систему уравнении \%_х+_ау—2а

2) Находим А=

= — 12+12=0. Здесь свободные члены пропор-

а 2 8 а

-16.

=а

О Имеем Д =

1. При а ф +4 система имеет единственное решение:

а 2 2 а а

а а 8 2 а

а²—4а

2а¹ — %а 2а

а² —16 а² —16 я+4’

2. При а=4 определитель системы равен нулю и система примет вид

(4х+2у=4,

[8х+4у = 8.

Свободные члены пропорциональны коэффициентам при переменных: 4/8 = 2/4=4/8; поэтому при а=4 система имеет бесконечное множество ре­шений.

3. При я = — 4 определитель системы равен нулю к система примет вид

Г -4х+2у=-4,

{ 8х—4у= —8.

Свободные члены не пропорциональны коэффициентам при переменных: (—4)/8 = 2/(—4) ф (—4)/(—8); поэтому при а = — 4 система несовместна. #

Решите системы уравнений: 38. 1) \ 5х — 2у=1, [%х+4у = 1, ^ Зх + 4у = 25; [4х+2у = 9;

2дг+3;;= 13,

'5х-у=1;

3x+5j= 14,

2х—4у= —20.

2)

4)

6)

3) ( 2х—Ъу=—Ъ, —6х+9у=9;

5) $2х-4у=\4, 4х+3у= —27;

я² —16 а² —16 а+4

39. 1)

2)

2х—у Зх—2

=х+у,

2. 4

5х—4_у= —18;

х+2у х—2у 1—2у ~~4 2

Зх—2^ = 8;

3. I

   3)

   (3х-5у х+2у_

J 3 6 ^и’

1х—10}> = 62.

Г 2л:—ау = 3, [бл —9^ = 9

имеет беско-

40. При каком значении а система нечное множество решений?

тт (4х + 3у = 12,

40. При каком значении а система ^x+ay-l ^{НС имеет} Р^ешении •

41. Найдите двузначное число, которое при делении на сумму его цифр дает в частном 6, а в остатке —8; при делении же на разность цифр десятков и единиц в частном получается 24, а в остатке —2.

40. Если увеличить ширину прямоугольной площадки на 4 м, а ее длину уменьшить на 2 м, то ее площадь увеличится на 8 м²; если же ширину уменьшить на 3 м, а длину увеличить на 1 м, то ее площадь уменьшится на 23 м². Найдите ширину и длину площадки.

41. Двое рабочих получили за работу 255 руб. Первый ра­ботал 10 дней, а второй—9 дней. Сколько получал в день каж­дый из них, если известно, что первый рабочий за 5 дней полу­чил на 15 руб. больше, чем второй за 3 дня?

42. Скорость вертолета на 70 км/ч превышает скорость авто­мобиля, а отношение их скоростей равно 15:8. Найдите скорости вертолета и автомобиля.

43. Величина одного из углов треугольника равна 50°, а раз­ность величин двух других углов равна 10°. Найдите величины углов треугольника.

44. 5% одного числа и 4% другого составляют 16, а 6% пер­вого числа и 8% второго составляют 24. Найдите эти числа.

(3.4)

§ 6. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ТРЕХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

01	Ьх	Cl		ь2	с2		02	С2	+ Ci	02 Ь2
02	ь2	с2	=01			-bi
0з	Ъг	Съ		Ьъ	съ		03	Съ		«з Ьъ

Определителем третьего порядка, составленным и4 чисел а_и Ь_и с_и а₂, Ь₂, с₂, а₃, Ь₃, с₃, называется число, определяемое равенством

Формулу (3.4) называют разложением определителя третьего порядка по мэлементам первой строки.

Система трех линейных уравнений с тремя переменными

С a₁x+b_iy+c_lz=d_l, ^у

■s a₂x-\-b₂y+c₂z-d₂,

La₃x+b₃y+c₃z=d₃

а₂ Ь₂

а_ъ Ь₃

аi b\ ci

при условии, что определитель системы Д =

=7*0, имеет единствен­

ное решение, которое находится по формулам Крамера:

^Х= A* '"A* ^Z= А’

	di	bi	Cl		0i	di	С1		01	Ъг	di
л*=	d2	Ъг	С2	, Ду	02	d2	С2	, Аг =	02	ъ2	d2
	d3	Ъг	с3		03	d3	Съ		03	Ьъ	d*

(3.5)

где

Если же А = 0, то система является либо неопределенной, либо несов­местной. В том случае, если система однородная, т. е. имеет вид

С aiX+biy+CiZ=0, л a₂x+b₂y+c₂z=0,

\.а₃х+Ь_ъу+с_ъг=0,

и Д^0, то она имеет единственное решение: *=0, j> = 0, z — 0.

Если определитель однородной системы Л=0, то система сводится либо к двум независимым уравнениям (третье является их следствием), либо к од­ному (следствиями которого являются остальные два уравнения). В обоих случаях однородная система имеет бесконечное множество решений.

40. Вычислить

О По формуле (3.4) получим

3 2 2		-5 -8		1 -8		1 -5
1 -5 -8	= 3		-2		+ 2
4 2 1		2 1		4 1		4 2

= 3 (—5 +16) —2(1+32) +2(2 + 20)=33 —66+44= 11. ф

40. Решить систему уравнений

{lx—3y + 5z=32, 5x+2y+z=\\, 2x—y + 3z= 14.

= 86;

О Находим:

	7	-3	5		2 1		5 1		5 2
А =	5 2	2 -1	1 3	= 7	-1 3	-(-3)	2 3	+ 5	2 -1

= 7(6 + 1) +3(15-2) +5(—5—4)=49 + 39—45=43;

32	-3	5		2	1	-(-3)	11	1		11 2
11	2	1	= 32						+ 5
14	-1	3		-1	3		14	3		14 -1

А_х=

7 32 5		11 1		5 1
5 11 1	= 7		-32		+5
2 14 3		14 3		2 3

5 И 2 14

= -43;

Д,=

7 -3 32 5 2 11 2 -1 14

5	11		5 2
		+ 32	2 -1
2	14

-(-3)

= 129.

2 11 -1 14

A_z =

= 7

По формулам (3.5) получаем: А

А

⁼ А '

129

~43~~

= 3. •

50. Вычислите определители третьего порядка:

	2	0	5		2	3	1		1	2	3		1	2	8
1)	1	3	16	; 2)	0	4	-2	; з)	2	3	4	; 4)	3	2	10
	0	-1	10		1	3	-1		3	4	5		4	3	4

51. Решите системы уравнений:

1. f*-2y+3z=6, 2) f4х—5(j+l)=l, < 2x+3y-4z=20, S (5/12)у- (l/2)z=-\, 3x-2y-5z=6; 45/6)x+{l/3)v- (3/2)

(5/6)x+(l/3)y- (3/2)z= — 1;

3. f Sx+y-3z=-2, j 4л -f- 3y+2z = 16, ^2jc-3j + z=17;

4. f 3x-2y+z=10, j x+5y — 2z= —15, ^ 2x — 2y—z = 3;

3. ’ 5л:—3}>+4z=6, 2x—y—z=0,

   ■ л:—2}>+z=0;

   6)

   f 5x—3>>+4z= 11, л 2x—y—2z— —6, ^ 3x-2y-\-z = 2;

7) Г 5*+3>;+3z = 48, 8) fx-2>;-z=2, j 2x+6y—3z= 18, ^ Зл:—6}> —3z = 6,

^ 8л:—3}> + 2z=21; ^ 5л— lOy — 5z= 10.