§ 6. Пересечение двух прямых

Если даны две пересекающиеся прямые AiX+B^y+Ci =0 и А₂х+В₂у + Н-С₂ =0, то для вычисления координат точки пересечения данных прямых необходимо решить систему уравнений этих прямых.

61. {

    Найти точку пересечения прямых Зх—4у+11 =0 и 4х—у—7=0. О Решив систему уравнений

Зх—4у+11=0, 4х—у—7 = 0,

получим х=3 и у=5. Следовательно, (3; 5)—точка пересечения этих прямых. #

62. Даны уравнения сторон треугольника: х+Зу—3 = 0, Зх—

\\у — 29 = 0 и Зх—у+ 11 =0. Найти вершины этого треугольника.

О Для вычисления координат вершин треугольника необходимо решить три системы уравнений:

Г х+Зу —3 = 0, { Зх— 11^ —29 = 0, Г Зл:—11 =0,

(Зх—11^—29=0; [3x—>>+11 =0; | х+Зу — 3=0.

Решение первой системы х=6, у— — 1, второй х= —5, у= —4 и третьей х= — 3, у=2. Следовательно, вершинами треугольника служат точки (6; — 1), (-5; -4) и (—3; 2). •

63. Составить уравнение прямой, перпендикулярной вектору п = (4; —3) и проходящей через точку пересечения прямых х +Пу— -27 = 0 и 6х—7у—16 = 0.

О Находим точку М_г пересечения данных прямых:

Г л:Ч-11V—27 = 0, . _{ч ч}

(бх—7>>—16=0 ^<>(^х= ’ )^; "‘(5; ²)-

Составив скалярное произведение векторов « = (4; —3) и М^М =

= (лг—5; —2) в координатной форме и производя упрощения, получаем искомое уравнение:

п -М₁М=(4; — 3)(х—5; 2) = 0o4(x—5) — 3(у—2) = 0о4х—3у—14 = 0. #

64. Найдите точки пересечения прямых: 1) у = Зх и х+у + 4 = 0;

х—2у — 8 = 0 и х+>> — 2 = 0.

65. Найдите вершины треугольника, если его стороны заданы уравнениями: 1) 4х + 3>> + 20 = 0, 6л: — 7j^ —16 = 0 и jc— 5j^+ 5 = 0; 2) 7jc + + 3^ —25 = 0, 2х — 1у—\5 = 0 и 9х—4у+15 = 0.

66. Составьте уравнение прямой, перпендикулярной дан­ному вектору и проходящей через точку пересечения данных прямых: 1) л = (-3; 2), 2х+3>>-17 = 0, х+у-6 = 0; 2) п = (-4; -5); Зх-\-у —10 = 0, 2х+у — 6 = 0.

§ 7. Угол между двумя прямыми

Угол ф между двумя прямыми, заданными общими уравнениями А^х+ + ^i^+Ci=0 и А₂х+В₂у-\-С₂=Ъ, вычисляется по формуле

А₁А₂ + В₁В₂ /ю11\

cos ф=— - — ■ - (18.11)

JA? + B? -jAi + Bj

Угол ф между двумя прямыми, заданными уравнениями с угловыми коэффициентами y=kix-\-bi и у = к₂х+Ь₂, вычисляется по формуле

к₂—кл

^t8^<P⁼⁼TTnr- <¹⁸-¹²

\+к₂к_г

Угол ф между двумя прямыми, заданными каноническими уравнениями (x—x_l)/m_i=(y—yi)/n_l и (х—х₂)/т₂ = (у—у₂)/п₂, вычисляется по формуле

miw₂ + «i«2

С08ф=-—=—/ (18.13)

s/mi+nf -y/mi+ni

Формулы (18.11) — (18.13) определяют значение тригонометрической функции одного из двух углов (острого или тупого) между заданными прямыми. Для нахождения острого угла между прямыми выражения в правой части этих формул следует брать по модулю.

67. Найти острый угол между прямыми у = 5х и у=2х (рис. 126).

О Угловые коэффициенты данных прямых равны 5 и 2. Воспользуемся формулой (18.12), причем ее правую часть берем по модулю:

2-5

tg Ф =

1+2-5

=^■=0,273; <р« 15°,3. •

68. Найти острый угол между прямыми 5х—12^—16 = 0 и Зх+4у—12 = 0.

О По формуле (18.11) находим

5 *3—12*4

33 33

cos ф =

=—; ф = arccos—* 59°,5.

у/5²+ (-12)²-^Й?

69. Найти острый угол между прямыми (х—5)/(—24) = (у--2)/7 и (* + 4)/8 = 0-3)/15.

О По формуле (18.13) находим

_87_

425*

—24

*8 + 7*15

87

⁼425’

*78°,2. •

Ф = arccos

COS ф =

V(-24)² + 7² _v^+T5^I