§ 4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении

Уравнение прямой, проходящей через данную точку А (х_А; у а) в заданном направлении, имеет вид

у-УА = к{х-х_А\ (18.8)

где fc = tga—угловой коэффициент прямой.

Уравнение (18.8) можно рассматривать как уравнение пучка прямых, т. е. множества прямых, проходящих через одну и ту же точку плоскости—точку А (х_А; у_А). Заметим, что только одна прямая из всех проходящих через точку А, а именно прямая, перпендикулярная оси Ох, не выражается уравнением вида (18.8). Ее уравнение имеет вид х=х_А.

47. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А (5; —1) и имеющей угловой коэффициент fc=3.

О По условию, ли = 5, Уа= — 1, к= 3. Подставляя эти значения в уравнение (18.8), получим

у+1 = 3 (х—5), или Зх—у—16 = 0. ф

48. Составить уравнение прямой, проходящей через точку (—3; —2) и образующей с осью Ох угол arctg 2.

О По условию, х_А=— 3, у_А= —2. Найдем k = tg (arctg 2) = 2. Подставив эти значения в уравнение (18.8), получим

j+2=2(x+3), или 2х—у+4=0. ф

49. 1) Составьте уравнение прямой: 1) проходящей через точку (— 1; —1) и имеющей угловой коэффициент к= 1; 2) проходящей через точку (2; 0) и имеющей угловой коэффициент к = —2.

50. 1) Составьте уравнение прямой: 1) проходящей через точку (4; —5) и образующей с осью Ох угол arctg (—3); 2) проходящей через точку (2; 3) и образующей с осью Ох угол 45°; 3) проходящей через точку (0; 5) и образующей с осью Ох угол 135°.

§ 5. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

)

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки А (х_А; у_л) и В(х_в;у_в), имеет вид . ^

У~Ул = ^{УВ Ул}(х-х_А). (18.9)

Хв-Хл

Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки А и В, находится из соотношения

клв=^^1. (18.10)

х_в-х_А

51. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А (2; -3) и В(-1; 4).

О По условию, х_а = 2, х_в= — 1, у_А= — 3 и у_в=4. Подставив эти значения в уравнение (18.9), получим

4 + 3

у+3=—-—-(х—2), или 1х+Ъу—5 = 0. ф

52. Найти угол наклона к оси Ох прямой, проходящей через точки А (2; 3) и В ( —3; 1).

О По условию, х_а = 2, х_в=—3, у_А = 3 и у_в = 1. По формуле (18.10) находим

_к_Ув~Ул 1-3 _2_

-3-2 5 ’ ’

откуда а = arctg 0,4 = 21°,8. ф

53. Найти отрезки, отсекаемые на осях координат прямой, проходящей через точки А (6; 2) и В ( — 3; 8).

О Подставив в уравнение (18.9) координаты точек А (6; 2) и В (—3; 8), получим

Приведем это уравнение к уравнению в отрезках на осях: у-2 = (—2/3)(х—6), у-2=(—2/3)х+4, (2/3)х+у = 6;

(²/³)* . У , * , У_,

6 6 ’96

Следовательно, а=9 и Ь = 6. ф

54. Прямая, проходящая через точку ( — 5; 1), отсекает на оси Оу отрезок Ь = 6. Составить уравнение этой прямой.

О Искомая прямая пересекает ось Оу в точке (0; 6). Подставив в уравне­ние (18.9) координаты точек А (—5; 1) и В (0; 6), получим искомое уравнение

6-1, _ч у— 1 ⁼q^5 (^+5), или х—^ + 6 = 0. •

55. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки:

А (—1; -1) и В (-2; -2); 2) А (3; 0) и 5 (0; 4).

56. Составьте уравнения сторон треугольника, вершинами кото­рого служат точки: 1) А (—3; —2), В (1; 5) и С (8; —4); 2) (—1; —3), (3; 5) и (4; 0).

57. 1) Треугольник задан вершинами А (—3; 4), В (—4; —3) и С (8; 1). Составьте уравнение медианы AD.

1. Треугольник задан вершинами А (2; 5), В ( — 6; — 4) и С (6; — 3). Составьте уравнение медианы BD.

58. Найдите угол наклона к оси Ох прямой, проходящей через точки А ( — 3; —3) и В (2; 1).

59. 1) Прямая проходит через точки А (— 1; — 6) и В (7; 2). Найдите отрезки, отсекаемые этой прямой на осях Ох и Оу.

2. Точка, двигаясь прямолинейно, прошла через положения А(12;—1) и В( 3; 2). В какой точке она пересечет ось Оу\

60. 1) Прямая, проходящая через точку (—4; —1), пересекает ось Оу в точке (0; 3). Составьте уравнение этой прямой.

2. Прямая, проходящая через точку (—2; 4), отсекает на оси Ох отрезок а = 2. Составьте уравнение этой прямой.