§ 2. Уравнение прямой в отрезках на осях

Уравнение прямой в отрезках на осях имеет вид

* + 08.5)

а b

где а и b—соответственно абсцисса и ордината точек пересечения прямой с осями Ох и Оу.

х у

19. Построить прямую - — -= 1.

О Перепишем данное уравнение так:

1. —3 ’

т. е. а=2 и Ь=— 3. Таким образом, получаем точки А (2; 0) и В (0; —3). Прямая, проведенная через точки А и В, является искомой (рис. 123). ф

20. Общее уравнение прямой Зл:—4у + 2 = 0 преобразовать к уравнению в отрезках на осях.

Рис. 123

О Произведем следующие преобразования:

• У

-2/3 ⁺ 1/2 ^{L 0}

Зх 4у Зх-4у=-2; --^=1;

21. Составить уравнение прямой, пересе­кающей ось Ох в точке (3; 0), а ось орди­нат—в точке (0; 5).

О Согласно условию, а = 3 и Ъ=5. Следовательно, искомое уравнение имеет вид х/3 +у/5=1. ф

22. Постройте прямые: 1) х/2+у/6=1; 2) х/5— у/4=1; 3) —лг/З + +7/2=1; 4) -х/6-у/3 = 1.

23. Преобразуйте уравнения следующих прямых к уравнениям в отрезках на осях: 1) х+у — 3 = 0; 2) 2jc + 3^+1=0; 3) 2х + 3у — 6 = 0;

Зх—4у+12 = 0.

24. Составьте уравнение прямой в отрезках на осях, если она пересекает оси координат в точках: 1) а ( — 2; 0) и в (0; 3); 2) а (3; 0) и в (0; -4).

25. Найдите длины отрезков, заключенных между точка­ми пересечения с осями координат, для следующих прямых: \) x/6+y/S=l; 2) jc/12—^/16= 1; 3) х/9-у/12 = 1.

§ 3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид

y=kx+b, (18.6)

где k=tg(x—угловой коэффициент, равный тангенсу угла наклона прямой к оси Ox, а b—ордината точки пересечения прямой с осью Оу.

Если а=0, то к=0, т. е. прямая параллельна оси Ох.

При а=90° углового коэффициента к не существует, т. е. прямая, перпендикулярная оси Ох, не имеет углового коэффициента.

Если на прямой, проходящей через начало координат, взята точка А(х_а;у_а), то

k=tgd=y_A/x_A. (18.7)

26. Построить прямые: у=Зх; у=х; у = ( 1/2)х; у= —Зх.

О Положение прямой на плоскости определяется двумя точками, но для прямой, проходящей через начало координат, одна точка (начало координат) уже известна, поэтому достаточно из уравнения прямой найти еще одну точку и, соединив ее с началом координат, получить искомую прямую.

Построим прямую у=Зх. Полагая х= 1, находим у=3*1=3. Соединив точку А (1; 3) с началом координат, получим искомую прямую.

Аналогично построим остальные прямые: у=х, В (1; 1); >>=(1/2) jc, С (1; 1/2); 7=-Здг, D (1; -3) (рис. 124). •

27. Построить прямую у = 2л:+ 8.

О I способ. Построим прямую у = 2х. Прямая >>=2л + 8 проходит параллельно прямой у=2х на 8 ед. выше начала координат (рис. 125).

2. способ. Найдем точки пересечения прямой с осями координат. По­лагая у=0, получим х = — 4, т. е. А (—4; 0). Полагая теперь х=0, находим у — 8, т. е. В (0; 8). Через точки А и В проводим искомую прямую (рис. 125). ф

28. Вычислить углы наклона к оси Ох для прямых: 1) у=х; 2)у=-х; 3) у=Зх; 4) у=-2х; 5) у=тх.

О 1) у=х, fc=tga= 1, a=45°;

1. у=—х, fc = tga= —1, a= 135°;

2. у—Зх, k=tg a=3, a=71°,6;

3. y=-2x, k=tga= —2; a= 180°-63°,4= 116°,6;

4. y—mx, k=tgoi=m, a=arctgm, если 0; cil = k—arctgm, если m<0. •

29. Вычислить угол наклона прямой Зх + 2>> + 6 = 0 к оси Ох.

О Разрешив уравнение 3x+2j>+6=0 относительно у, получим у — = ( — 3/2) х—3, откуда k=igoL= —3/2; а= 180° —56°,3 = 123°,7. #

30. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат, если ее угловой коэффициент: 1) к= 5; 2) к=—3.

О Для составления уравнения искомой прямой достаточно подставить числовое значение к в уравнение у=кх. Имеем: 1) у = 5х, или 5л:—^ = 0;

1. у = — Зх, или Зл 4-^ = 0. #