4. Прямая, параллельная оси Ох, проходит через точку (—2; 2). Составить уравнение этой прямой.

О Уравнение прямой, параллельной Ох, имеет вид у=Ъ. Ордината точки, через которую проходит искомая прямая, равна 3; следовательно, уравнение прямой у = 3, или у—3 = 0. ф

5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М₀(3; —5) и перпендикулярной вектору и = (4; 2).

О Пусть M(jc; у)—произвольная точка искомой прямой. Вектор М₀М = = (х—3; у+5) перпендикулярен вектору п = (4; 2). Так как векторы перпенди­кулярны, то их скалярное произведение равно нулю: « Л/₀М =0. Записав

произведение этих векторов в координатной форме, получим (4; 2)(*-3; j+5)=0<^>4(x-3) + 2{у + 5)=0о4х+2у-2 = 0*>2х+у-1 =0. Уравнение искомой прямой имеет вид 2х+у—1=0. ф

6. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат и точку м (2; 3).

О Вектор ОМ = (2; 3) коллинеарен искомой прямой. Для составления

уравнения прямой используем каноническое уравнение прямой (18.4). Подставив значения т = 2, п = 3, л:_о = 0, >>о = 0 в уравнение (18.4), получим

(х/2=у/3)о(3х-2у = 0). ф

7. Вычислить длину отрезка прямой Зх-+4у—24 = 0, заключенно­го между осями координат.

О Найдем координаты точек пересечения прямой с осями координат: ^=0, jc=8, А (8; 0); х=0, >>=6, В (0; 6). Следовательно, длина отрезка АВ равна АВ=^/64+36 =10. ф

8. На прямой 2jc+j> —6 = 0 найти точку М, равноудаленную от точек А (3; 5) и В (2; 6).

О Обозначив координаты точки М через (х_м; X получим:

МЛ = У(*д,-3)²+ (ум-5)², МЯ=_л/(х_м-2)² + (^Af-6)².

Так как МА = МВ, то

\/(х_м-3)² + (.Ум-5)² =v^/(^xm^_2)²⁺ (^м-6)²- После возведения в квадрат и упрощений получим

*м-Ум + 3 = 0.

Точка М(х_м;у_м) принадлежит прямой 2х+у — 6 = 0, следовательно, ее координаты удовлетворяют этому уравнению.

Решив систему уравнений

f ^м + 3 = 0,

(. 2хм+Ум—6 = 0, находим *_м=1, ^м=4; М( 1; 4). •

9. Постройте прямые: 1) 2х—5^+10 = 0; 2) 4х+6у—3 = 0.

10. Постройте прямые: 1) х=4; 2) jc= — 3; 3) у=2; 4) у= —4.

11. Постройте фигуру, ограниченную линиями х=— 2, х=0, у= — 3 и у = 0. Вычислите площадь этой фигуры.

12. 1) Прямая, параллельная оси Ох, проходит через точку (3; —4). Составьте уравнение этой прямой.

2) Прямая, параллельная оси Оу, проходит через точку ( — 6; 0). Составьте уравнение этой прямой.

13. 1) Длины сторон прямоугольника равны 3 и 4. Составьте уравнения всех его сторон, если он расположен в III координатном угле так, что две из его сторон лежат на осях координат, причем меньшая из них лежит на оси Оу.

2) Составьте уравнения сторон квадрата, если он расположен _v в I координатном угле и две из его вершин имеют координаты А (2; 0) и В(5;0).

14. Составьте уравнение прямой, проходящей через данную точку М₀ и перпендикулярной данному вектору п: 1) М₀ (—2; —3), и = (4; -5); 2) М₀ (1; -1), « = (-3; 4).

15. Составьте уравнение прямой, проходящей через данную

точку М₀ и перпендикулярной данному вектору АВ : 1) М₀ (—2; —3),

А (-5; 2), В (-1; 4); 2) М₀ (2; 2), А (1; -3), В (6; -5); 3) М₀ (-2; -3), А (2; 1), В(1; 5).

16. Составьте уравнение прямой, проходящей через начало координат и данную точку: 1) (—4; —1); 2) (5; —4).

17. Вычислите длину отрезка прямой 4х + 3у — 36 = 0, заключен­ного между осями координат.

18. 1) На прямой х—2у — 4 = 0 найдите точку, равноудаленную от точек А (5; —1) и В (2; —4).

1. На прямой Зл:+4у+20 = 0 найдите точку, равноудаленную от точек А ( — 8; —3) и В (—5; —6).