Глава 18 прямая на плоскости и ее уравнения

§ 1. Общее уравнение прямой. Векторное и каноническое уравнения прямой

§ 1. Общее уравнение прямой. Уравнение первой степени относительно переменных х и у, т. Е. Уравнение вида

Ах+Ву + С=0 (18.1)

при условии, что коэффициенты А и В одновременно не равны нулю, называется общим уравнением прямой.

Отметим частные случаи общего уравнения прямой.

Значение коэффициента	Вид уравнения	Положение прямой
О II о	Ах+Ву = 0	Проходит через начало
	(у=кх)	координат
Л = 0	Ву+С=0	Параллельна оси Ох
	(У=Ъ)
В=0	Ах + С—0	» » Оу
	(х=а)	Совпадает с осью Ох
А = С=0	у=0	>> » » Оу
В=С=0	jc=0

2. Векторное уравнение прямой. Пусть /—прямая на плоскости хОу (рис. 119), М₀(х₀;уо)—точка на этой прямой, а п = (А; В) — ненулевой век­тор, перпендикулярный прямой / (он называется нормальным вектором пря­мой). Если М (.х; у) — произвольная точка на прямой /, отличная от М₀, то

вектор М₀М =г—г 0 = (х—х₀; у—уо) перпендикулярен вектору п = (А; В),

т. е. скалярное произведение этих векторов равно нулю:

п(г-г₀)=0. (18.2)

Уравнение (18.2) называется векторным уравнением прямой. Если его переписать в координатной форме, то получится уравнение

А(х-х₀) +Я(у-.уо)=0. (18.3)

2. Каноническое уравнение прямой. Пусть М₀(х₀; у₀) — заданная точка прямой, a q=(m; п) — вектор, коллинеарный прямой (он называется нап­равляющим вектором прямой). Если М(х;у)—произвольная точка на

прямой, то векторы М₀М =(х—х₀; у—уо) и q = (m; п) коллинеарны, т. е.

координаты этих векторов пропорциональны:

(х - х₀)/т=(у—уо)/п. (18.4)

Уравнение (18.4) называется каноническим уравнением прямой.

1. Проверить, принадлежат ли точки А(3; 14), В (4; 13), С(—3; 0), D(0; 7) прямой 1х—Ъу+2\=Ъ.

О Если координаты точки удовлетворяют уравнению, т. е. обращают его в тождество, то эта точка принадлежит данной прямой; если же координаты точки не удовлетворяют уравнению, то точка не принадлежит прямой.

Подставив вместо переменных х и у в уравнение 1х—Зу+2\ =0 координаты точки А, получим тождество 7-3 — 3-14+21=0; следовательно, точка А (3; 14) принадлежит данной прямой.

Аналогично убеждаемся в том, что точки С и D принадлежат прямой, а точка В—не принадлежит, ф

2. Построить прямую 3x+4j>—12 = 0.

О Для построения прямой найдем координаты точек пересечения с осями Ох и Оу. Полагая у=0, получим Зл:—12=0, х=4, А (4; 0). При х=0 получим 4у—12=0, у=3, В (0; 3). Через точки А и В проводим искомую прямую (рис. 120). ф

3. Построить прямые: 1) х=3; х= —2; х=0; 2) у=4; у= — 1; у=0.

О 1) На оси Ох возьмем точки jc=3, х=— 2. Через эти точки про­водим прямые, параллельные оси Оу (рис. 121). Прямая jc=0 является осью Оу-

1. На оси Оу возьмем точки у=4, у= — 1. Через эти точки про­водим прямые, параллельные оси Ох (рис. 122). Прямая ^=0 является осью Ох. ф