Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Практические занятия по математике.doc
Скачиваний:
3
Добавлен:
01.03.2025
Размер:
5.67 Mб
Скачать

§ 9. Смешанные задачи

В задачах 104—ИЗ доказательства проведите с применением векторов.

  1. Докажите, что три медианы любого треугольника могут служить сторонами треугольника.

  2. Докажите, что отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, равен половине третьей стороны.

  3. Даны параллелограмм ABCD и произвольная точка плос­кости О. Докажите, что OA + OC=OB+OD.

  4. Докажите, что середины сторон произвольного четырех­угольника являются вершинами параллелограмма.

  5. Докажите, что три высоты треугольника пересекаются в одной точке.

  6. Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллело­грамма равна сумме квадратов всех его сторон.

  7. Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

  8. Докажите, что в равнобедренной трапеции диагонали равны.

  9. Докажите- что в прямоугольной трапеции разность квадра­тов диагоналей, разности квадратов оснований.

  10. Докажите, чтб вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности,— прямой.

  11. Найдите точки, симметричные точке А ( — 2; —3) относи­тельно: 1) начала координат; 2) оси Ох; 3) оси Оу; 4) биссектрисы I и III координатных углов.

  12. Дан отрезок с концами А(—3; 1) и 5( — 1; 7). Найдите концы отрезка, симметричного данному относительно: 1) начала коорди­нат; 2) оси Ох; 3) оси Оу; 4) биссектрисы II и IV координатных углов.

  13. Дан треугольник с вершинами А(3; 2), В(7; 4) и С(1; 6). Найдите вершины треугольника, симметричного данному относи­тельно: 1) начала координат; 2) оси Ох; 3) оси Оу; 4) биссектрисы I и III координатных углов.

  14. На векторах а = АВ и Ь = ВС построен треугольник АВС, в котором проведены медианы АМХ, ВМ2 и СМЪ. Выразите векторы AMU BMt и СМЪ через а и Ъ. Найдите \AMt\, если координаты вершин треугольника А (2; 5), В (4; —4) и С (12; —2).

  15. Отрезок АВ задан точками А(—1; —1), 5(9; 7) и делится точкой С в отношении 5:3 (от А к В). Найдите длину отрезка, соединяющего точку С с точкой, симметричной ей относительно начала координат.

  16. Отрезок А В разделен на семь равных частей. Четвертая точка деления (от А к В) есть F(4; 1). Найдите точку А, если 5(13; 4).

  17. На биссектрисе I и III координатных углов найдите точку, равноудаленную от точек Л (7; 2) и 5(2; —13).

  18. Точки А(3; 2), 5( — 2; 1) и С(1; —4) служат вершинами параллелограмма, причем А и С—противоположные вершины. Найдите четвертую вершину D.

  19. Смежными вершинами параллелограмма служат точки А( — 3; 1) и 5(1; 3). Диагонали параллелограмма пересекаются в точке М( 1; —2). Найдите две другие вершины.

ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА

  1. вариант

  1. Найдите координаты вектора АВ, если А ( — 2; -3), 5(1; 4).

  2. Точка С(2; 3) делит АВ в отношении 1:4 (от А к В). Найдите точку А, если 5(—6; —1).

  3. Найдите точку М, равноуда­ленную от осей координат и от дан­ной точки А (4; —2).

  4. Вычислите угол между векто-

  1. вариант

  1. Даны точки А( — 3;.— 4) и 5(2; 5). Разложите вектор^ А В по единичным векторам Г и / коорди­натных осей.

  2. Отрезок А В задан трчками А( 1; —4) и 5 (—8; 1) и делится точ­кой С в отношении 1:4 (от А к 5). Найдите точку С.

  3. Отрезок задан точками

А(—10; 4) и 2?(5; — 1). До какой точки С нужно его продолжить, чтобы АВ:ВС= 5:1?

  1. рами а=(—3; 4) и 6=(4; 3).

    5) Докажите, что если О—точка пересечения медиан треугольника АВС, то ОА-\-ОВ-\~ОС—0.

    Вычислите "косинус^ угла между векторами 4) и £=(5; 12).

  2. В треуЙэлънике АВС проведена медиана AM. Докажите, что 2АМ= = АВ+АС.