83. В системе, повернутой относительно исходной на угол 45°, дана точка ( — 2; 4). Найти координаты этой точки относительно исходной системы.

О По формулам (17.21) получим

х= —2cos45°—4sin45°, у= —2sin45°+4cos45°,

т. е. *=-3^2, y=yjl. ф

83. Координаты точки в новой системе x_t = — 2 и Ji=4. Найдите координаты этой точки в исходной системе, если при сохранении направления осей начало координат перенесено в точку: 1) ( — 3; 5);

(4; -2); 3) (-1; -3); 4) (2; 1).

83. Координаты точки в исходной системе х=—2 и у=— 3. Найдите координаты этой точки в новой системе, если при сохранении направления осей начало координат перенесено в точку:

(3; 2); 2) (-3; 2); 3) (3; -2); 4) (-3; -2).

83. Относительно двух систем координат хОу и х_хО_ху_и имею­щих одно и то же направление осей, известны координаты некоторой точки: ( — 4; 7) и ( — 8; 3). Найдите координаты начала каждой из этих систем относительно другой.

84. Две системы координат имеют одинаковое направление осей. Первая система координат относительно второй имеет начало в точке ( — 3; 5). Найдите координаты начала второй системы отно­сительно первой.

85. Дана точка М(х; у). Как изменятся координаты этой точки, если за ось абсцисс принять ось ординат и за ось ординат—ось абсцисс?

86. Дана точка А (4; —2). Найдите координаты этой точки в новой системе координат при повороте осей на угол: 1) 45°; 2) 30°.

87. Найдите координаты точки относительно исходной системы, если эта точка имеет координаты (2^/3; 2) в системе, повернутой относительно исходной на угол: 1) 30°; 2) 60°.

§ 8. Полярные координаты

Элементами полярной системы координат являются: 1) точка О—по­люс; 2) луч, выходящий из точки О,—полярная ось Ор; 3) единица измерения длины /.

Положение точки М на плоскости (рис. 117) задается расстоянием этой точки от полюса—длиной радиуса-вектора, выраженной в принятых единицах измерения, и углом между радиусом-вектором и полярной осью. Числа ср и г называются полярными координатами точки М\ г—полярным радиусом, а ф—полярным углом. Полярные координаты точки записываются так: М (г; ф).

Если точка М совпадает с полюсом, то г=0, а значение ф не определено. Для любой другой точки плоскости г> 0, а значение ф определяется с точностью до слагаемого, кратного 2п.

Если полюс полярной системы координат находится в начале прямо­угольной системы координат, а положительная полуось Ох совпадает с полярной осью, то прямоугольные координаты точки выражаются через ее полярные координаты по формулам

х=гсо8ф, у=г sin ф. (17.23)

Для выражения полярных координат точки через ее прямоугольные координаты используются формулы

r=y/x²+y²; sin<p=yly/x²+y²; cos<p = x/yJx²+у², (17.24) tgq>=y/x. (17.25)

83. Построить точку М(2; к/4) в полярной системе координат.

О Проведем через полюс О луч От под углом п/4 к полярной оси Ор. На луче От отложим отрезок ОМ, равный двум единицам масштаба. Точка М является искомой (рис. 118). ф

83. Найти прямоугольные координаты точки А (4; я/3).

О По формулам (17.23) получим:

x=4cos(rc/3) = 2, ^=4sin(7i/3)=2_>/3. ф

83. Найти полярные координаты точки, прямоугольные коорди­наты которой (-3; ЗУЗ).

О По формулам (17.24) получим:

г=У(-3)²+(зУз)² = 6, sin<p=3_v/3/6 = v^/3/2_> cosq>= —3/6= —1/2. Учитывая знаки синуса и косинуса, находим полярный угол ф = 2я/3. ф

83. Вычислить расстояние между двумя точками А(г_г; ср_х) и В(г₂; ф₂), заданными в полярных координатах.

О По теореме косинусов имеем

AB=y/r\ + r\—2r_lr₂ cos (ф₂ — фi)* •

83. В полярной системе координат постройте точки: 1) (3; я/3); 2) (4; Зя/4); 3) (2; -я/6); 4) (5; -Зя/4).

84. Найдите полярные координаты точек, симметричных точкам (2; я/4), (4; 2я/3) и (1; —я/6): 1) относительно полюса; 2) относи­тельно полярной оси.

85. Найдите прямоугольные координаты точек: 1) (2; я/2);

1. (2уД; -п/3); 3) (^2; -я/4); 4) (2; Зя/4).

83. Найдите полярные координаты точек: 1) (0; 5); 2) (0; —\/3);

2. (-JT; -1); 4) (1; -1).

83. Могут ли быть прямоугольные и полярные координаты точки представлены одной и той же парой чисел?

84. Вычислите расстояние между двумя точками А (6; я/3) и В (5; 2я/3).