68. Векторы а и В образуют угол 150°. Зная, что \а | = 2, \В | = 3, вычислите (а + 5) *4а.

69. Найдите скалярное произведение векторов: 1) а = (2; 4) и £=(4; 1); 2) с = (1/2; 2/5) и </=(2/3; 5/6).

70. Даны точки а ( — 2; 4), яд; -j3), с (4; —2) и /)(1; 5). Вычис­лите скалярное произведение ab cd.

71. Найдите скалярное произведение векторов: 1) а=— 2i+5j и B=3i—4j; 2) АВ и ВС, если А( 1; 3), В(-2; -4)_и С(4; -3).

72. Вычислите угол между векторами ,4# и С/), если ,4(3; 1), Д(7; 4), С(3; 2) и />(6; 6). _ _

73. Найдите косинус угла между векторами а+b и а—Ъ, если а=(2; 3) и В( 1; 1).

74. Проверьте, перпендикулярны ли векторы: 1) а = ( — 3; 5) и £=(5; 3); 2) с=(2; -4) и 3=(-4; -2); 3) р=(-3; -4) и *=(5; lj.

75. Какому условию должны удовлетворять векторы а и Ъ, чтобы вектор а+В был перпендикулярен вектору a—Bl

76. Вычислите работу, производимую силой F=(2; —1), когда точка ее приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения М( 1; —2) в положение N(5; —5).

§ 7. Преобразования прямоугольных координат

1. Параллельный перенос осей координат. Пусть имеются две системы прямоугольных координат с разными началами, оси которых параллельны и одинаково направлены. Тогда между координатами одной и той же точки в этих системах имеет место зависимость

x=x_l+x₀, y=_yi+y₀, (17.20)

где х и у—координаты точки в исходной системе; х_г и у_х—ее координаты в новой системе; х₀ и у₀ — координаты нового начала О_г относительно исходной системы (рис. 115).

2. Преобразование координат при повороте осей без изменения начала координат. Пусть л; и у—исходные координаты, а—угол поворота, х_х и у_х—координаты той же точки в новой, повернутой системе координат (рис. 116). Тогда

л;=х₁ cosa—y_t sina, y=x_t sina+j^ cosa (17.21)

и

x_l =xcosa+j'sina, у_х = — .xsina+jcosa. (17.22)

82* Координаты точки в новой системе х_х=3 и у₁= — \, а координаты нового начала при сохранении направления осей х₀ = 2 и у₀= — 3. Найти координаты точки в исходной системе.

ц
0	о,(х0;у0) \ X

rat

W

О По формулам (17.20) получим

*=*₁+*₀ = 3 + 2 = 5, у=_у1+у₀=- 1+(_з)=_4. ф

83. Координаты точки в исходной системе х= — 4 и у = 2, а координаты нового начала при сохранении направления осей jc₀ = 3 и у₀ = — 1. Найти координаты точки в новой системе координат.

О По формулам (17.20) находим

х₁=х-х₀=-4-3=-7, у₁=у-у₀ = 2-(-1) = 3. ф

83. Относительно двух систем координат хОу и х_хО{у_и имею­щих одно и то же направление осей, известны координаты некоторой точки: ( — 2; 3) и ( — 7; 6). Найти координаты начала каждой из этих систем относительно другой.

О Полагая х=— 2, у — 3 и х₁ = —1, у₁= 6, по формулам (17.20) получим

• 2 =—1 + х₀, 3 = 6+у₀, т. е. х₀ = 5, у₀=— 3. Координаты нового начала в системе хОу таковы: 0(5; —3).

Поменяв местами х и x_lt у и у^ в формулах (17.20), получим

• 7= — 2+x_Qi, 6 = 3+>>_0i, т. е. x_Qi = —5, y_0l = 3. Координаты нового начала в системе х^О^у^ таковы: О^—5; 3). ф

83. Дана точка М( — 2^/3; 4). Найти координаты этой точки в новой системе координат при повороте осей на угол 60° без изменения начала координат.

О По формулам (17.22) получим

х_х = —2^/3 cos 60°+4 sin 60°, =2_>/3sin60°+4cos60°,

т. e. х₁=_у/Ъ, уi = 5. ф