§ 3. Системы и совокупности неравенств с одной переменной

При решении уравнений и неравенств иногда приходится переходить к системам уравнений или неравенств или к их совокупностям.

Системой двух предложений А(х) и В(х) (А(х) и В (х)—уравнения или неравенства с одной переменной) называется предложение «А (х) и В (х)»,

которое записывают с помощью фигурной скобки: < ^

1В(х).

Число х₀ называют решением системы, если оно является решением каждого из предложений А{х) и В(х).

Совокупностью двух предложений А{х) и Я(х) называется предложение «А(х) или В (х)», которое записывают с помощью квадратной скобки: Г А (х),

L В(х).

Число х₀ называется решением совокупности, если х₀ является решением хотя бы одного из предложений А (х) или В (х).

Можно рассматривать системы и совокупности трех (и более) пред­ложений, а также совокупности систем или системы совокупностей пред­ложений.

Имеют место следующие равносильные преобразования:

1. переход от уравнения к совокупности уравнений:

/(х)ф(х)=0<^Г^ °’

|_Ф(х)=0;

2. переход от неравенства к совокупности неравенств:

f/(x)>0,

U(x)

f(x)q>(x)^0o

|/(х)<0,

_1ф(^

)<0;

)>0;

3. освобождение от знаменателя в неравенствах:

С/(х)^0,

1ф(х)<0,

|ф(д:)>0.

/W

ф(х)

/(*)

<р(х)

<0<

^Оо

f/(x)»0,

{ф(х)>0,

|/(хЦ0,

Дф(х)<0;

19. Решить системы неравенств:

1. 5—х 3—2х

   -Г + —^>0-

   Зх—5 2х—1

   ~~г з~^к~

   Г6jc + 2>3jc-4, 2) [2х+1 >4х—1;

3)

2(2jc—1)^3(1+лг), 4) ГЗх-8<2х-10,

( 2—5x^6 —6х.

1 ^{1 3} >1

1 х<—х—4;

0. 4

О 1) Гбх+2>3х—4, Г Зх>—6, Гх> — 2,

< о< о< Ответ: —2<х<4.

[2х+1>4х-7 | —2х> —8 |х<4.

2. Г 5-х 3—2* _л

• ⁺—^>о- Зх—5 2х— 1

—< —2

5х> — И, Гх<2,2,

>< о< Ответ: — оо<х<0,2.

[ 5jc < 1 |х<0,2.

³> 2(2jc-1)>3(1+4

1. о (4х-2^3 + 3х, Гх^5,

о< о< Ответ: 5^х< + оо.

1. х<-х—4 4—2х<3х—16 )х>4.

2. 4 ^v

<-2,

^4.

4)

Данная система не имеет решения.

Г Зх—8 < 2х —10, Г х [2—5x^6—6х \х

19. Решить совокупности неравенств:

1. Г Ъх-1>1х+9, 2) Г4—3jc< 5 (2—лг).

L*— 3> — Здс+1; 2—3jc> л:—18.

Ответ: — оо <х< —4

О 1) ГЗх—7>7х4-9, Г— 4х>16, Гх<—4,

|_х—3>—3x4-1 L 4х>4 |_х>1. или 1<х<4-оо.

2. [~4—Зх<5 (2—х), Г — 3x4-5х< 10—4, Г 2х<6, Гх<3,

о\ о о От-

|_2—Зх>х—18 —Зх—х> —18 — 2 |_-4х>-20 [*<⁵-

вет: — оо<х<5. #

2х—3 . х—4 _ 3—бх

19. Решить неравенства: 1) -—->0; 2) -—-<0; 3) -—-т>— 5.

Зх—6

2x4-1

2х—3

О 1) Решение этого нелинейного неравенства с одной переменной сводится к решению совокупности двух систем линейных неравенств с одной переменной, так как дробь положительна в том случае, если ее числитель и знаменатель имеют или только положительное, или только отрицательное значение. Поэтому данное неравенство равносильно совокупности двух систем:

х> 1,5, х>2,

1 2

:, Г х>2,

,5, |_ х < 1,5

2х—3 Зх—6

>0<

Г х< ^х<

I 2х-3>0, [Зх—6>0 \ 2х—3<0, I Зх—6<0

Ответ: — оо<х<1,5 или 2<х<+оо.

1. Дробь отрицательна в том случае, если ее числитель и знаменатель имеют разные знаки. Поэтому данное неравенство равносильно совокупнос­ти двух систем:

f*-4^0, [2х-3<0 х—4^0, 2*—3>0

х—4 2*—3

нет решения, 5<*<4.

:<0<

Г*^4,

1*<1,5 Гне Глг<4, |_1, |*> 1,5

Ответ: 1,5 <*^4.

3 — 6*

^>2*+Т

4* 4" 8 2*4-1

>0<

>0<

>-5<

+ 5>0<

3) 3 — 6* 2*4- Г

3—6* Н^-10* -f 5 2*4-1

Г 4*+8 > 0,^< [2*4-1 >0 f 4*4-8<0, [2*4-1 <0

Г *> —2,

|*> —0,5 Г*> —0,5, <—2, |_*<—2.

*

*< — 0,5

Ответ: — оо<*<—2 или —0,5<*<4-оо. #

Решите системы неравенств:

19. 1) ГЗх4-7>7х —9, 2) |2х>4х+6,

|х—3> -3x4-1; [4л: 4-3 <2x4-1;

2. Г6jc —7>5лг— 1, |зх4-6>8х—4;

^ I Злг+2>лг—2, х4-15>6 —2х, х—14< 5x4-14.

2)

24* 1) Г 5х—3>14-х,

1 . ²

• —Зх<-х—5;

7-6* _1Л 8*+1 —у- +10х<— 12,

*4-1 _{0 0}1 —— >2х-2-;

2. 2

3. 3 —2*^5—2* 4^8’

   4*—15 2

   —^:>-⁴з-

   Г 4^-3 Зх 5 4) 6 2⁺8’

4*—3 * — 5 *—1 8 ⁺ ^^_> 2 ’

Решите совокупности неравенств:

2)

25. 1)

3)

Г2(х

4х4-7>2х4-13, Зх 4~ 2 < 2х 4- 3;

5 —2х>3х—10, 2(1 — 2х)> 1 — 5х;

2 —Зх<8 —5х,

2(4 —х)^х—22; (х—2)>5—х, 5х<4(2 —х).

Решите неравенства:

__ _i4 За+1 _ __ч 5—т . 2(4—х) _л 2 — v _

”• " ST3^{>0; 2)} 2=Я^{>0; 3}> ~hjx^{> ; 4>} 7^^>0-

28. 1) “<»; 2) i^SO; 3) ^<0; 4) ^<0.

3x4-2 4—3^ я—4 4—х

28. 1) ^^<2; 2) ^4>2; 3)

-6;

2х—5

2я+1

Зх+2

4. Ь^<-3; 5)

2х+3

2т-5