Тема 4.1. Методи усунення автокореляції.

Методів усунення автокореляції, або побудови лінійної моделі регресії при її наявності, тобто побудови лінійної моделі узагальненої регресії, є декілька. Зупинимось на методі Кочрена-Орката. Розглянемо рівняння лінійної моделі регресії разом із рівнянням авторегресії її залишків,

Частинним випадком поліноміальної моделі є лінійна модель,

(10)

До нелінійних моделей, які досить часто використовуються при аналізі економічних процесів, належить логарифмічна модель

(11)

Ця модель використовується для даних, що мають тенденцію зберігати постійні темпи приросту. Вона може бути приведена до лінійної логарифмуванням обох частин формулами (11).

Логістична модель

(12)

Де β₁ – загальна ємність ринку на весь життєвий цикл, y(t) – сумарна ємність ринку до моменту t

Модель Гомперця

, де (13)

Модель Гомперця логарифмуванням звидиться до показникової,

.

Дві останні моделі задаються криві тренда S-образної форми. Вони відповідають процесам з постійно затухаючим темпами росту в кінці процесу. Необхідність подібних моделей обумовлена неможливістю багатьох економічних процесів довгий час розвиватися з постійними темпами росту.

Слід зауважити, що представлення про можливість характеру тренду дає його графічне представлення. Трендові моделі в основному використовуються для характеристики процесу з допомогою основних показників динаміки, а також для прогнозних рішень. В прогнозуванні тренд, в першу чергу, використовують для довгострокових прогнозів.

В технічних питаннях для побудови трендових моделей часто використовують фізичні закони або технічні характеристики, що генерують часові ряди. Розглянемо один тип моделей часових рядів, що використовуються в технічних питаннях – полігармонічну модель. Простійний її варіант – це косинусоїдальна модель:

(14)

Тренд цієї моделі - представляє собою косинусоїдальну функцію, з амплітудою , частотою , періодом і фазою . В техніці часто розглядають моделі (14), в яких амплітуда є випадковою величиною з нульовим середнім, або фаза є випадковою величиною, рівномірно розподіленою величиною з нульовим середнім, або фаза є випадковою рівномірно розподіленою величиною в інтерволі .

Коло даних, що описуються косинусоїдальною моделлю невелике. Часто зустрічаються періодичні залежності, що описуються більш складною функцією.

Як відомо, довільну гладку періодичну функцію з періодом можна представити у вигляді ряду Фур'є

, де (15)

називають Нейквістовою частотою, - деякі периметри. Частоти називають гармонічними основної частоти:

Враховуючи ряди Фур'є, функцію, що є сумою декількох періодичних функцій з різними періодами, можна задати у вигляді:

Таким чином отримуємо наступне узагальнення моделі (14), але, перш ніж узагальнити модель (14), розглянемо деякі поняття.

Означення 1. Білим шумом називають часовий ряд (випадковий процес) з нульовим середнім, коли його випадкові складові незалежні і мають однаковий розподіл.

Це так званий білий шум у вузькому розумінні. У визначення білого шуму часто включають припущення про нормальність розподілу величин . Іншими словами, гаусівський білий шум - це послідовність незалежних нормально розподіленних випадкових величин із середнім нульовим значенням і загальною дисперсію.

Тепер розглянемо поняття білого шуму в широкому розумінні.

Означення 2. Часовий ряд (випадковий процес) називають білим шумом в широкому розумінні, коли для довільного виконується умови, і

Приведемо узагальнена моделі (14).

Означення 3. Часовий ряд описується полігармонічною моделлю, коли його можна представити у вигляді,

де і є білим шумом.

Коли періоди відомі, то для визначення величин і можна використати методи лінійного регресивного аналізу. Коли періоди невідомі, то для їх визначення використовують методи спектрального аналізу.

Алгоритмічні методи виділення невипадкової складової. Метод

ковзної середньої

Так сталося історично, що аналіз часових рядів був розпочатий з підбору полігармонічних моделей для їх опису, одначе, з середини ХХ віку почали з'являтись більш прості моделі для їх опису, моделі типу авторегресії – ковзної середної. В основі цих методів лежить проста ідея: коли розсіювання значень членів часового ряду навколо свого середнього (згладженого) значення , характеризується дисперсією , то розсіювання середнього із п-членів часового ряду , навколо того ж значення а, буде характеризуватись значно меншою величиною дисперсії, а саме дисперсією, рівною . Зменшення міри випадкового розсіювання (дисперсії) і означає згладжування відповідної траекторії.

Як відмічають, виділення тренда за допомогою, наприклад, полігармонічногї моделі, безпосередньо не завжди можливе. Особливі ускладнення виникають в результаті незакономірної коливності часового ряду. У зв’язку з чим, застосування методів підбору виду тренда включає попереднє згладжування (або вирівнювання) ряду спостережень. Процедуру згладжування називають ще фільтрацією ряду, а оператори, з допомогою яких вона здійснюється – фільтрами. На практиці використовують переважно лінійні фільтри, з яких найпростіший – ковзна середня. Суть згладжування або вирівнювання зводиться до заміни фактичних значень часового ряду розрахунковими, що мають значно меншу коливніть, ніж даний ряд.

Нехай довжина ряду п. Для кожного із m<n послідовних рівнів можна підрахувати середню арифметичну величину. Обрахувавши значення середньої арифметичної для перших т-рівнів, переходять до розрахунку середнього для рівнів , потім для - і т.д. Інтервал згладжування поступово зміщується на один рівень вправо. Ковзну середню зручно записувати в наступному виді,

(17)

де .

Коли т-непарне число, то в цьому випадку розрахункове значення рівня часового ряду виявиться в центрі інтервалу згладжування і їх легко замінити на фактичні значення. Якщо т-парне число, то розрахункове значення не буде співпадати з фактичним і до якого фактичного значення (до лівого, чи правого) його віднести не відомо. Тому застосовують переважно непарні середні. Коли все таки виникає потреба в застосуванні парних середніх, то роблять ще один крок – переходять до центральної ковзної середньої.

Приклад 1.

Річний об’єм продаж продукції деякої компанії:

Рік	Продаж (тис. тон)	Трьохрічна середня	П’ятирічна середня	Семирічна середня
1	170	-------	--------	--------
2	120	131,6	--------	--------
3	105	127	128	--------
4	156	150	135,4	144,8
5	189	137,1	124,8	149,8
6	107	154,1	143,2	158,1
7	167	159,6	169,2	165,4
8	205	183,1	162,6	--------
9	178	179,6	--------	--------
10	156	------	--------	--------

Як видно із прикладу 1 семирічна середня (ковзна середня 7-го порядку визначає тренд, що має “незначну” коливність (різниця між найбільшим і найменшими рівнями ряду) і набагато меншу коливність ніж середні 3-го і 5-го порядку. Один з недоліків ковзної середньої – зменшення інформації про ряд, адже із збільшенням її порядку кількість членів ряду кожен раз зменшується на два.

Розрахунок ковзної середньої при великій кількості рівнів можна дещо спростити, тобто визначити її за рекурентною формулою,

Особливість цієї формули полягає в тому, що перший її доданок несе по собі вантаж минулого і характеризує інерцію розвитку, другий – грає роль елемента адаптації середньої до нових умов. Таким чином, середня з кожним кроком немов би оновлюється, враховуючи нову інформацію про фактично реалізований процес, ступінь оновлення визначається ваговом коефіцієнтом 1 / (2p + 1).

У формулах (17) і (18) в якості ступеня оновлення можна брати довільні вагові коефіцієнти, сума яких рівна одиниці, тобто ковзну середню визначати за формулою,

або за формулою,

Очевидно, кожен метод ковзної середньої (МКС) відрізняється від іншого вибором параметрів p і ω_k . Зупинимось на цьому детально. Визначення параметрів ω_k ґрунтується на наступній процедурі. У відповідності з відомою теоремою Вейєрштраса довільна гладка функція f(x) , може бути локально (тобто в обмеженому інтервалі зміни параметра t) представлена алгебраїчним поліномом підходящого степеня. Тому беремо перші 2p+1 членів часового ряду, y(1), . . . ,y(2p+1) і будуємо з допомогою методу найменших квадратів (МНК) поліном степеня p, що апроксимує траєкторію часового ряду, і використаємо цей поліном для визначення оцінки згладженого значення y(t) часового ряду в середній, тобто в p+1-й точці цього відрізка ряду, тобто покладемо, . Далі ковзаємо по всій осі часу на один такт таким же способом, підбираючи поліном того ж степеня p до відрізку часового ряду y(2), . . . ,y(2p+2). Визначаємо оцінку загладжуваного значення часового ряду в середній точці через значення полінома в середній точці, зрушеного на одиницю відрізка часового ряду, і т.д.

Доведемо, що підбір найкращого в розумінні МНК апроксимуючого полінома до траєкторії аналізованого часового ряду (на заданому часовому інтервалі) дійсно приводить до формули (19), причому результат (тобто значення коефіцієнтів ω_k не залежить від того, для якого саме із ковзних часових інтервалів був здійснений цей вибір. Почнемо із простого прикладу. Нехай на вибраному часовому інтервалі довжиною 2p+1 рівнів невипадкова складова f(t) може бути апроксимована лінійною функцією f(t) = β₁ + β₂t, t = 1, 2, . . . ,2p+1. Без обмеження загальності можна перепозначити моменти часу таким чином, щоб розглядати модель на часовому відрізку, t = -p, -p+1, . . . ,-1, 0, 1, . . . ,p-1, p. Тоді середній точці часового ряду буде відповідати значення параметра t = 0 . За МНК потрібно визначити коефіцієнти β₁ і β₂ таким чином, шоб мінімізувати величину,

Беручи похідні від функції g(β₁, β₂) по β₁ і β₂ і прирівнюючи одержані частинні похідні до нуля, отримаємо систему рівнянь для визначення β₁ і β₂,

. Враховуючи, що , . Звідки, , Оцінка згладженого значення часового ряду визначається в середній точці часового інтервалу, тобто при t = 0 за відповідним значенням функції β₁ + β₂t|_t=0 = . Якщо проробити той же самий аналіз для любого іншого часового інтервала t = k+1, k+2, . . . ,k+2p+1 (k = 1,2, . . . , n- 3p-1), одержимо аналогічний результат. Таким чином, в загальному випадку,

Тобто, за лінійним характером локальної апроксимації траєкторії часового ряду в якості його згладжуваного значення в точці t потрібно брати середнє арифметичне його навколишніх 2p+1 сусідніх значень y(t-p), y(t-p+1), . . . ,y(t), . . . , y(t+p), або, в термінах вагових коефіцієнтів, ω_-p= ω_-p+1 = , . . . , = ω_p = 1 / (2p+1).

Не важко показати, що коли локальна поведінка згладженої функції f(t) описується алгебраїчним поліномом нульового степеня, тобто, коли функція f(t) локально веде себе як постійна величина (f(t) = const), то оцінка згладжуваного значення часового ряду в точці t визначається за тією ж формулою (22).