Тема 4.1.. Діагностика автокореляції.

Як відомо, головним інструментом математичної статистики, є поняття вибірки. За класичним визначенням, вибірка являє собою випадковий вектор, компоненти якого незалежні, однаково розподілені випадкові величини. Представимо собі, що умова незалежності компонент випадкового вектора порушується. Прикладом такого порушення може бути вибірка, шо представляє собою рівні доходів за деякий період ряду магазинів однієї спеціалізації даного району. Не виключено, що рівень доходів одного взятого магазину може впливати на рівень доходів іншого, тобто існує кореляція доходів магазинів. Ще приклад, вибірка – динаміка випуску продукції підприємства за ряд періодів. Цілком можливо, що на рівень випуску продукції даного періоду впливали рівні випуску минулих періодів.Перший приклад є прикладом просторової автокореляції, другий – часової. Взагалі, автокореляція – це взаємозвязок послідовних елементів часового чи просторового ряду даних.

Питання, що виникає при наявності автокореляції, полягає в тому, щоб вияснити її вплив на побудову трендових лінійних моделей регресії. Для прикладу розглянемо лінійну трендову модель регресії:

Запишемо рівняння (4.1) для іншої координати: , можна довести, що коваріація двох рівнів результуючого показника збігається з коваріацією відповідних рівнів вектора збурень, тобто (Перевірте!). Таким чином, виникає питання впливу коваріації рівнів вектора збурень на побудову трендової моделі. За другим положенням побудови лінійної моделі нормальної регресії, коваріаційна матриця вектора збурень моделі повинна мати діагональний вид. Наявність автокореляції вектора збурень моделі цю умову порушує, тому приходиться переходити до побудови лінійної моделі узагальненої регресії.

Одним із найбільш простих випадків врахування корельованості помилок при побудові моделі є випадок, коли випадкова послідовність помилок моделі утворює авторегресійний процес першого порядку. Він визначається рекурентною лінійною регресією сусідніх залишків моделі,

де - послідовність незалежних нормально розподілених, незалежних з u_t-1 ,величин з нульовим математичним сподіванням, постійною дисперсією і нульовою коваріацією, . Що стосується випадкової величини u₀ , то її виберемо таку, що має нормальний закон розподілу з нульовим математичним сподіванням, дисперсією D u₀ = і не залежить від ε₁, . . . , ε_Т .Причину вибору параметрів випадкової величини u₀ визначимо пізніше.

Якщо у формулі (4.2) в обох її частинах перейти до математичного сподівання, враховуючи перше положення, Mu_t = Mu_t-1 = Mε_t = 0, то ρ₁ = 0. Тому рівняння (4.2) можна записати у наступному вигляді,

Параметр ρ називають коефіцієнтом авторегресії. Таким чином D u₀ = . Умова є необхідною умовою для коефіцієнта авто регресії у стаціонарному випадковому процесі. Дійсно, із (4.3) випливає наступна рекурентна формула,

В (4.4) перейдемо до дисперсії,

.

Далі обчислимо наступні дисперсії в (4.3),

. Прирівняємо праві частини (4,5) (4.6) . Звідки,

При t = 2 маємо . Звідки,

Із (4.6) знаходимо,

Аналогічно, для .Так як справа число строго більше від нуля, то .

Вияснимо питання загального вигляду коваріаційної матриці вектора збурень за наявності автокореляції першого порядку. Для цього Далі знаходимо, =

і т.д. Накінець, . Таким чином, коваріаційна матриця вектора збурень матиме вигляд,

Авторегресійні процеси більш високого порядку можуть розглядатись, коли в статистичних даних є сезонні або циклічні коливання. Наприклад, при обробці даних по півріччях при наявності в них циклічних коливань є природнім розгляд авто регресії другого порядку,

При обробці з квартальними даними може бути доцільним розгляд авто регресії четвертого порядку,

Які негативні наслідки може нести в собі автокореляція? Забігаючи наперед, якщо знехтувати автокореляцією, то матимемо наступні негативні наслідки.

1. Оцінки параметрів моделі будуть незміщеними, але неефективними, тобто вибіркові дисперсії розрахункових коефіцієнтів моделі можуть бути завищеними або заниженими.

2. Так як вибіркові дисперсії обчислюються не за уточненими формулами, статистичні критерії t- і F-статистики практично не можуть бути використані в статистичному аналізі.

3. Неефективність оцінок моделі приводить до неефективних прогнозів, тобто прогнозів з великою чи малою вибірковою дисперсією.

Зупинимось на діагностиці автокореляції. Статистична перевірка автокореляції рівнів вектора збурень – це перевірка істотності лінійного зв’язку між ними, тобто перевірка гіпотези H₀: ρ = 0. В якості альтернативної може виступати двостороння гіпотеза H_а: ρ # 0, або одна із односторонніх H_а: ρ > 0, або H_а: ρ < 0. На практиці в якості перевірки гіпотези найчастіше використовують статистику Дарбіна-Уотсона (DW-статистика), яка визначається наступною формулою (критерій Дарбіна-Уотсона),

Щодо спектру можливих значень величини DW, то вона може приймати значення в проміжку [0;4] (Перевірте!). Доведено, коли DW рівне двійці, то автокореляція відсутня. А як для інших значень?. Дарбін іУотсон довели, що існують два граничні значення d₁ (нижнє) і d₂ (верхнє). d₁ < d₂ , які залежать від числа спостережень Т, числа регресорів n і рівнів значимості (існують таблиці з 1%, 2%, 3%, 5% рівнями значимості) за якими основна гіпотеза приймається (тобто автокореляція відсутня), коли DW> d₂ і відхиляється, коли DW< d₁ (автокореляція присутня). У випадку d₁ ≤ DW≤ d₂ ситуація з тестуванням гіпотези стає невизначеною. Наявність зони невизначеності, коли не має підстав ні приймати, ні відхилити гіпотезу про відсутність автокореляції, представляє собою певну трудність при використанні тесту Дарбіна-Уотсона.