Тема 3.1. Перевірка гіпотези про незмінність середнього
значення часового ряду.
Істотно
роль в розвитку задач виявлення і оцінки
трендової
,
сезонної
і
циклічної
складових часового ряду відіграє
початковий етап аналізу, на якому
виявляється стан наявності або відсутності
(в залежності від часу t)
складової в розкладі часового ряду. На
початковому етапі виявляється сам факт
наявності (відсутності) невипадкової,
залежної від часу, складової в розкладі
(1). По суті мова іде про статистичну
перевірку гіпотези:
(5)
для кожного t, (включаючи твердження про взаємну статистичну незалежність членів часового ряду); при альтернативній гіпотезі:
(6)
Таким чином, потрібно вияснити, чи являється часовий ряд стаціонарним в широкому розумінні (слабо стаціонарним).
На
початковому етапі будується оцінка
(апроксимація) для невідомої інтегральної
невипадкової складової
, тобто розв’язується задача згладжування
аналізованого часового ряду.
Перевірка даної гіпотези на не випадковість, чи випадковість часового ряду може бути здійснена за багатьма критеріями. Розглянемо деякі із них:
Критерій серій, заснований на медіані. Нехай аналізується часовий ряд за даними вибірки
.
Упорядкуємо ряд в порядку зростання,
одержимо,
.
Як відомо, медіана
ряду
- це значення, що поділяє ряд на дві
частини за числом його значень. Якщо
числа рівні ряду є непарним числом
,
то
;
при парному
медіана дорівнює,
Далі
порівнюють рівні ряду
з медіаною і утворюють ряд, що складається
із знаків «+» і «-» (плюс і мінус) за
наступними правилами: якщо
-
ставиться знак «+»; якщо
- ставиться знак «-»; якщо
- ставиться "пропуск". Члени часового
ряду рівні медіані не враховуються.
Таким чином утворюються серії з плюсів
і мінусів розділені "пропусками".
Під серією розуміють послідовність
підряд плюсів або мінусів.
Приклад
3.1.
Для ряду 2, 3, 5, 6, 7 медіана,
,
а для ряду 2, 3, 5, 6, 7, 9,
.
Стосовно числового ряду 3, 7, 2, 10, 6, 5, 8
його упорядкуємо, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10; знайдену
медіану
.
Тоді утворений ряд із знаків "+" і
"-" має вид, -, +, -, +, пропуск -, +.
Утворена
послідовність плюсів і мінусів
характеризується загальним числом
серій
і довжиною найбільшої серії
.
Очевидно, що коли справедлива гіпотеза (5), то чергування плюсів і мінусів повинно бути випадковим, тобто послідовність не повинна містити надто довгих серій з одних тільки плюсів або мінусів і відповідно загальне число серій не повинно бути малим. Для перевірки гіпотези (5) були побудовані критичні статистики, які дозволили сформувати наступне наближене правило перевірки гіпотези (5). Коли хоча б одна із нерівностей
(7)
виявиться
порушеною, то гіпотеза (5) відхиляється
з ймовірністю помилки
між
0,05 і 0,0975 і значить підтверджується
наявність, залежної від часу, невипадкової
складової часового ряду.
Приклад 3.2. В наявності результати випробувань на довговічність 58 зразків, відібраних в хронологічному порядку із поточної продукції:
38,33,29,16,44,21,16,17,19,1,22,28,22,14,7,13,21,15,34,23,15,19,32,24,14,13,22,8, 30,11,15,24,26,14,11,25,17,10,19,5,6,16,7,10,1,5,2,8,14,14,15,16,13,11,9,11,19,21.
Ряд
факторів, від яких істотно залежить
якість зразків (сировина, кваліфікація
персоналу і т.д.) піддається неминучим
коливанням з плином часу характер яких
може бути як випадковим, так і систематичним.
Нас буде цікавити той факт, чи було це
певним чином враховано при визначенні
способу відбору зразків, тобто чи
відбувався відбір так, щоб результати
спостережень були б стохастично
незалежними, тобто утворювали вибірку?
Характер статистичних даних наводить
на думку, що мала місце деяка тенденція
до монотонного зниження довготривалості.
Розрахунки свідчать:
.
Так що із двох нерівностей (7) лише одна (перша) виявилась вірною. Тому приходиться визнати, що результати спостережень не є стохастично незалежними і виявляють часову тенденцію до зниження довготривалості.