Тема 2.2. Спектральний аналіз часових рядів.

Спектральна щільність стаціонарного часового ряду через його автокореляційну функцію визначається за формулою,

(2)

де . Завдяки тому, що , спектральна щільність може бути записана,

(3)

- називають кутовою частотою, 2π/ω – називають довжиною хвилі.

Функція гармонічна з періодом . Оскільки , то графік спектральної щільності , який називають спектром, симетричний відносно . Тому при аналізі функції обмежуються значеннями в проміжку . В майбутньому переконаємось, що може приймати тільки невід'ємні значення. Повне застосування функції p(ω) можна знайти в книзі Г.Дженкінса і Д. Ворс: Спектральний аналіз і його застосування. Мир, т, 1, 1971, т. 2, 1972.

Використання властивостей цієї функції визначається як спектральний аналіз часових рядів. Стосовно до статистичного аналізу економічних рядів динаміки цей підхід не отримав широкого розповсюдження, так як вибірковий аналіз спектральної щільності вимагає в якості інформаційної бази або достатньо довгих стаціонарних часових рядів, або декілька траекторій часового ряду, що така ситуація досить рідка в економіці, тому ми обмежимось обговореннями лише двох можливих властивостей спектральної щільності

1. Вираз автокореляції через спектральну щільність .

Твердження. Кореляційна функція є перетворенням Фур’є спектральної щільності,

Цей результат одержується із (3) після його домноження на і почленного інтегрування по від 0 до , з урахуванням того, що

2. Спектральна щільність , як індикатор наявності гармонічних складових в аналізованому часовому ряді .

Для цього розглянемо взаємозв’язок часового ряду , в якого М , з гармонічними складовими і , що мають період . Характеристикою степеня тісноти зв’язку між і гармонічними складовими слугує функція з періодом , яку називають інтенсивністю. В той же час функція може бути представлена у вигляді де - оцінена дисперсія часового ряду, а - в деякій мірі „підправлена” оцінка автокореляції . При одержимо, з урахуванням (3),

Звідси, зокрема, слідує невід’ємність всіх значень спектральної щільності, оскільки ліва частина (4) невід’ємна за визначенням.

Таким чином, величина спектральної щільності при значенні аргумента , характеризує силу взаємодії між часовим рядом і гармонікою з періодом . Це дозволяє використати спектр як засіб фіксуючий періодичність в часовому ряді: при русі вздовж спектра в заданому діапазоні частот значення ординат повинні лишатись відносно малими до тих пір, поки не досягнуто частоти гармонічної компоненти часового ряду; за цієї частоти на спектрі виявляться високий пік. Відповідно, сукупність піків спектра і буде визначати набір гармонічних компонентів в розкладі (1). Відмітимо, що коли в часовому ряді міститься прихована гармоніка частота (що дає в спектрі пік в точці ), то, звичайно, в ньому присутні також періодичні складові з частотами , і т.д. Тобто, скажімо, місячна періодичність породжує ефект появи піків, що відповідають двомісячним, трьомісячним і т.д. періодам. Це так звані „ехо”, що повторюється спектром на низьких частотах.

На завершення можна дещо розширити клас моделей стаціонарних часових рядів, що використовуються в аналізі конкретних рядів економічної динаміки. З цією ціллю введемо поняття стаціонарного в широкому розумінні часового ряду.

Означення 1.1.Часовий ряд називається слабо стаціонарним (або стаціонарним в широкому розумінні), коли його середнє значення, дисперсія і коваріація не залежать від часу.

Очевидно, всі строго стаціонарні (або стаціонарні у вузькому розумінні) часові ряди є одночасно і стаціонарними в широкому розумінні, але не навпаки.

Розділ ІІІ. Невипадкова складова часового ряду і методи

його згладжування.