Тема 2.1. Строго стаціонарні числові ряди. Автоковаріаційна і автокореляційна функції

На інтуїтивному рівні стаціонарність часового ряду ми пов’язуємо з вимогою, щоб він мав постійне середнє значення і коливався навколо нього з постійною дисперсією.

Означення. Ряд називають строго стаціонарним (стаціонарним у вузькому розумінні), коли для любих моментів часу . сумісний розподіл ймовірностей спостережень такий же самий як і для спостережень .Іншими словами, властивості строго стаціонарного ряду не змінюються при зміні початку відліку.

В частинному випадку при слідує, що закон розподілу ймовірностей випадкової величини не залежить від часу , а значить основні його характеристики математичне сподівання і дисперсія постійні відносно часу , .

Оскільки закон розподілу випадкової величини однаковий для , то він сам і його основні характеристики можуть бути оцінені за рядом спостережень , В частинному випадку, - статистична оцінка середнього значення, - оцінка дисперсії

Із визначення строгої стаціонарності часового ряду при слідує, що сумісні двовимірні розподіли пар випадкових величин , , співпадають для любих моментів часу , і залежить тільки від різниці . Відповідно, коваріація між значення і буде залежати тільки від величин «здвигу» в часі і не залежить від . Ця коваріація називається автоковаріацією і визначається за формулою:

. Звідки,

В залежності від зміни прийнято говорити про автоковаріаційну функцію від . Значення функції можуть бути статистично оцінені за наявними спостереженнями за формулою:

, де .Зокрема, значення є вибіркова дисперсія часового ряду, .

Як видно, однією із відмінностей послідовності спостережень часового ряду, від випадкової вибірки, є те, що члени часового ряду являються взагалі, статистично залежними. Степінь цієї залежності вимірюється парними коефіцієнтами кореляції, Оскільки ,то

Величину називають автокореляційною функцією. Як відомо, спектр значень автокореляційної функції знаходиться на відрізку [-1;1] ( ). Вибірковий аналог, , або

Виходячи із стаціонарності часового ряду, справедлива рівність, тому при аналізі поведінки автокореляційної функції обмежуються розглядом тільки додатніх значень τ.

Вибірковий аналог автокореляційної функції стаціонарного часового ряду (її статистична оцінка ) визначається формулою

.

Графік автокореляційної функції інколи називають корелограмою. Виникає питання. Чи можна описати в загальних рисах схематичний вигляд корелограми стаціонарного часового ряду? Відповідь – позитивна. Це обумовлено тим, що чим більше віддаль в часі між членами ряду і , тим слабкіше взаємозв'язок між ними.

При цьому, в ряді випадків існує таке порогове значення τ₀, починаючи з якого всі значення будуть тотожньо рівні нулю

Знання автокореляційної функції виявляє суттєву допомогу в розвязку задач підбору і ідентифікації моделі аналізованого часового ряду. Для тих часових рядів, які вкладаються в рамки тієї або іншої конкретної моделі (наприклад в рамки моделі авторегресії) можна скористуватись простою процедурою.