1О. Коммутативности

;

2О. Ассоциативности

;

;

3О. Дистрибутивности

;

для любых векторов , и и любых вещественных чисел l и m.

Линейная зависимость векторов

Вначале введем часто используемые в приложениях, понятия коллинеарности и компланарности векторов.

Определение 1.4.1.

Два вектора, параллельные одной и той же прямой, называются коллинеарными. Три вектора, параллельные одной и той же плоскости, называются компланарными.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому другому вектору. Нулевой вектор считается компланарным любой паре векторов.

Определение 1.4.2.

Выражение вида , где - некоторые числа, называется линейной комбинацией векторов . Если все числа равны нулю одновременно (что равносильно условию ), то такая линейная комбинация называется тривиальной. Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля (то есть ), то данная линейная комбинация называется нетривиальной.

Используя запись суммирования, линейную комбинацию можно записать в виде .

Приведем теперь определение важного понятия линейной зависимости системы векторов.

Определение

Векторы называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация такая, что .

Определение

Векторы называются линейно независимыми, если из условия следует тривиальность линейной комбинации , то есть, что .

Иначе говоря, если векторы линейно независимы, если для любого набора чисел , не равных нулю одновременно, линейная комбинация не может быть нулевым вектором.

Справедливы следующие утверждения:

Один вектор линейно зависим тогда и только тогда, когда он нулевой.

Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Для линейной зависимости векторов , необходимо и достаточно, чтобы один из них был линейной комбинацией остальных.

Свойства линейно независимых векторов

1°. Один вектор линейно независим тогда и только тогда, когда он ненулевой.

2°. Два вектора линейно независимы тогда и только тогда, когда они неколлинеарны.

3°. Три вектора линейно независимы тогда и только тогда, когда они некомпланарны.

Теорема. Если среди векторов имеется подмножество линейно зависимых, то и все векторы линейно зависимы.

Следствие. Если среди векторов имеется хотя бы один нулевой, то векторы линейно зависимы.

Базис. Координаты вектора в базисе

Определение	Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор, принадлежащий этой прямой. Базисом на плоскости называется любая упорядоченная пара линейно независимых векторов, принадлежащих этой плоскости. Базисом в пространстве называется любая упорядоченная тройка линейно независимых векторов.
Определение	Базис называется ортогональным, если образующие его векторы попарно ортогональны (взаимно перпендикулярны).
Определение	Ортогональный базис называется ортонормированным, если образующие его векторы имеют единичную длину.

Пространственный базис, составленный из линейно независимых векторов , будем обозначать .

Теорема

Пусть дан базис , тогда любой вектор в пространстве может быть представлен, и притом единственным образом, в виде , где - некоторые числа.

Определение

Числа - коэффициенты в разложении , называются координатами (или компонентами) вектора в базисе .

Для записи вектора в координатном представлении используются формы:

1°. 2°. 3°.

4°. 5°. ,

Оказывается, что возможно не только записывать векторы при помощи матриц (столбцов), но и оперировать с ними в матричной форме, поскольку правила действий с векторами в координатной форме совпадают с правилами соответствующих операций с матрицами.

Теорема	В координатном представлении операции с векторами имеют следующий вид:
	1°. Сравнение векторов		Два вектора и равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты: или .
	2°. Сложение векторов		При сложении двух векторов их соответствующие координаты складываются. Координаты суммы двух векторов и равны сумме соответствующих координат слагаемых. В матричном виде это может быть записано так: .
	3°. Умножение векторов на число		При умножении вектора на число, на это число умножаются все координаты вектора. Координатное представление произведения вектора на число l может быть записано в следующей матричной форме .
Следствие		Координаты линейной комбинации векторов являются теми же линейными комбинациями соответствующих координат векторов и : .

Рассмотрим теперь вопрос о том, как в координатном представлении записываются условия линейной зависимости и независимости векторов.

Теорема

Для того чтобы два вектора и на плоскости были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы их координаты в некотором базисе удовлетворяли условию .

Теорема

Для того чтобы три вектора , и в пространстве были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы их ко- ординаты в некотором базисе удовлетворяли условию .

Следствие

Равенства и соответственно являются необходимыми и достаточными условиями коллинеарности пары векторов на плоскости и компланарности тройки векторов в пространстве.

Пример. Даны векторы (1; 2; 3), (-1; 0; 3), (2; 1; -1) и (3; 2; 2) в некотором базисе. Показать, что векторы , и образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

Векторы образуют базис, если они линейно независимы, другими словами, если уравнения, входящие в систему:

линейно независимы.

Тогда .

Это условие выполняется, если определитель матрицы системы отличен от нуля.

Для решения этой системы воспользуемся методом Крамера.

D₁ =

;

D₂ =

D₃ =

Итого, координаты вектора в базисе , , : { -1/4, 7/4, 5/2}.

Система координат.

Для определения положения произвольной точки могут использоваться различные системы координат. Положение произвольной точки в какой- либо системе координат должно однозначно определяться. Понятие системы координат представляет собой совокупность точки начала отсчета (начала координат) и некоторого базиса. Как на плоскости, так и в пространстве возможно задание самых разнообразных систем координат. Выбор системы координат зависит от характера поставленной геометрической, физической или технической задачи. Рассмотрим некоторые наиболее часто применяемые на практике системы координат.

Декартова система координат.

Зафиксируем в пространстве точку О и рассмотрим произвольную точку М.

Вектор назовем радиус- вектором точки М. Если в пространстве задать некоторый базис, то точке М можно сопоставить некоторую тройку чисел – компоненты ее радиус- вектора.

Определение. Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса. Точка называется началом координат. Прямые, проходящие через начало координат называются осями координат.

1-я ось – ось абсцисс

2-я ось – ось ординат

3-я ось – ось апликат

Чтобы найти компоненты вектора нужно из координат его конца вычесть координаты начала.

Если заданы точки А(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), то = (x₂ – x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁).

Определение. Декартова система координат, базис которой ортонормирован называется декартовой прямоугольной системой координат. Будем обозначать векторы базиса, если не будет другого указания.

Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве А(х₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), то .

Если точка М(х, у, z) делит отрезок АВ в соотношении l/m, считая от А, то координаты этой точки определяются как:

В частном случае координаты середины отрезка находятся как:

x = (x₁ + x₂)/2; y = (y₁ + y₂)/2; z = (z₁ + z₂)/2.

Скалярное произведение векторов.

Определение. Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними.

× = ï ïï ïcosj

Свойства скалярного произведения:

1. × = ï ï²;

2. × = 0, если ^ или = 0 или = 0.

3. × = × ;

4. ×( + ) = × + × ;

5. (m )× = ×(m ) = m( × ); m=const

Если рассматривать векторы в декартовой прямоугольной системе координат, то

× = x_a x_b + y_a y_b + z_a z_b;

Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между векторами:

;

Пример. Найти (5 + 3 )(2 - ), если

10 × - 5 × + 6 × - 3 × = 10 ,

т.к. .

Пример. Найти угол между векторами и , если

.

Т.е. = (1, 2, 3), = (6, 4, -2)

× = 6 + 8 – 6 = 8:

.

cosj =

Пример. Найти скалярное произведение (3 - 2 )×(5 - 6 ), если

15 × - 18 × - 10 × + 12 × = 15

+ 12×36 = 240 – 336 + 432 = 672 – 336 = 336.

Пример. Найти угол между векторами и , если

.

Т.е. = (3, 4, 5), = (4, 5, -3)

× = 12 + 20 - 15 =17 :

.

cosj =

Пример. При каком m векторы и перпендикулярны.

= (m, 1, 0); = (3, -3, -4)

.

Пример. Найти скалярное произведение векторов и , если

( )( ) =

= 10 +

+ 27 + 51 + 135 + 72 + 252 = 547.

Векторное произведение векторов.

Определение. Упорядоченная тройка некомланарных векторов и , в пространстве с совмещенными началами называется право ориентированной (или образует правую тройку), если с конца вектора кратчайший поворот от вектора к вектору виден выполняющимся против часовой стрелки.

В противном случае эта тройка векторов называется лево ориентированной (образует левую тройку).

Правая тройка Левая тройка

Определение. Векторным произведением векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1) , где j - угол между векторами и ,

2) вектор ортогонален векторам и

3) , и образуют правую тройку векторов.

Обозначается: или .

j

Свойства векторного произведения векторов:

1) ;

2) , если ïï или = 0 или = 0;

3) (m )´ = ´(m ) = m( ´ );

4) ´( + ) = ´ + ´ ;

5) Если заданы векторы (x_a, y_a, z_a) и (x_b, y_b, z_b) в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами , то

´ =

6) Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах и .

Пример. Найти векторное произведение векторов и

.

= (2, 5, 1); = (1, 2, -3)

.

Пример. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(2, 2, 2), В(4, 0, 3),

С(0, 1, 0).

(ед²).

Пример. Доказать, что векторы , и компланарны.

, т.к. векторы линейно зависимы, то они компланарны.

Пример. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если

(ед²).

Смешанное произведение векторов.

Определение. Смешанным произведением векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор, равный векторному произведению векторов и .

Обозначается или ( , , ).

Смешанное произведение по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , и .

Свойства смешанного произведения:

1)Смешанное произведение равно нулю, если:

а) хоть один из векторов равен нулю;

б) два из векторов коллинеарны;

в) векторы компланарны.

2)

3)

4)

5) Объем треугольной пирамиды, образованной векторами , и , равен

6)Если , , то

Пример. Доказать, что точки А(5; 7; 2), B(3; 1; -1), C(9; 4; -4), D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости.

Найдем координаты векторов:

Найдем смешанное произведение полученных векторов:

,

Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.

Пример. Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань BCD, если вершины имеют координаты A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).

Найдем координаты векторов:

Объем пирамиды

Для нахождения длины высоты пирамиды найдем сначала площадь основания BCD.

S_осн = (ед²)

Т.к. V = ; (ед)

1