Элементы векторной алгебры
Определение
|
Отрезок прямой, концами которого служат лежащие на ней точки A и B, называется направленным отрезком, если указано, какая из этих двух точек является началом и какая - концом отрезка.
Направленный отрезок, начало и конец которого совпадают, называется нулевым направленным отрезком. |
Определение. Длиной (модулем) вектора называется расстояние между началом и концом вектора.
Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой вектор имеет бесконечно много векторов, равных ему.
Действия с направленными отрезками
Пусть
даны два направленных отрезка
и
.
Определение:
Два ненулевых
направленных отрезка
и
при
называются равными,
если они
- лежат на параллельных прямых;
- точки
и
лежат по одну сторону от прямой, проходящей
через точки
и
;
- имеют
равные длины, т.е.
).
Кроме
того, все нулевые отрезки считаются
равными друг другу, а в случае
отрезки равны, если и
.
Определение:
Совместим
начало отрезка
с концом
(то
есть построим направленный отрезок
равный
,
начало которого совпадает с концом
отрезка
),
тогда направленный отрезок
,
начало которого совпадает с началом
и конец с концом
,
называется суммой
направленных
отрезков
и
1).
Это определение иногда называют правилом треугольника.
+
Отметим, что для операции сложения направленных отрезков:
1°. |
Обобщение правила треугольника на любое число слагаемых носит название правила замыкающей (правило многоугольника), смысл которого ясен из рис. |
-
2°.
Операция сложения направленных отрезков может быть выполнена по правилу параллелограмма, равносильному определению 1.2.3. (см. рис. 1.2.3.).
+
-
3°.
Разностью - направленных отрезков и называется направленный отрезок , удовлетворяющий равенству = + .
Для того, чтобы построить разность векторов можно построить сумму векторов а и (-в)
-
4°.
Любой направленный отрезок при сложении с нулевым не изменяется.
|
|
направленного
отрезка
на число
l
понимают:
нулевой
направленный отрезок,
направленный
отрезок, для которого
;
,
если
,
.
Определение
|
Совокупность всех направленных отрезков, для которых введены описанные выше операции: - сравнения - сложения - умножения на вещественное число
называется множеством векторов.
Конкретный
элемент этого множества будем называть
вектором
и обозначать символом с верхней
стрелкой, например
|
.
Нулевой
вектор обозначается символом
.
Операции сложения и умножения на вещественное число на множестве векторов обладают свойствами: