Ответы на контрольные вопросы

1.Способы задания множеств

Множество можно задать двумя способами:

1)Перечислением всех элементов множества. Например А={7,9,123};

2)Указав характеристическое свойство элементов множества А, в соответствии с которым можно установить, принадлежит данный элемент x множеству А, что обозначается xA, или нет xA, например,

А={ x: x-целое число и 12≤ x≤157 }

2. Операции над множествами:

1)Объединением множеств А и В (обозначается А⋃▒В ) называется множество, которое состоит из элементов принадлежащих множеству А или множеству В, т.е:

А⋃▒В={ x: xА или xВ }

2)Пересечением множеств А и В(обозначается А ⋂▒В) называется множество, которое состоит из элементов принадлежащих множеству А и В, т.е.

А ⋂▒В={ x: xА и xВ }

3)Дополнение множества А до множества В (или разностью множеств) называется множество, состоящее из элементов принадлежащих множеству В и не принадлежащих множеству А, т.е.

В\А={ x: xВ и xА }

4)Симметрическая разность множеств. Эта операция определяется следующим образом:

А Δ В= (А⋃▒В)\(А⋂▒В)

Её составляют элементы, принадлежащие множеству А, но не принадлежащие В, и элементы, принадлежащие множеству В, но не принадлежащие А.

5)Декартовым произведением множеств А и В называется множество всех упорядоченных пар (а,b) таких, что аА и bВ. Обозначается:

А×В={(a,b):∀aA и ∀bB}

3. Если декартовое произведение определяется на одном и том же множестве А, то говорят о «декартовой степени множества» и такое декартовое произведение обозначают

А×А×. . .×А=А^n

4.В практических приложениях одной из наиболее часто встречаемых операций над множествами является операция разбиения множества на систему подмножеств. Приведём стороге определение понятия некоторого множества А на систему подмножеств R={A_i: іI}

Система множеств R является разбиением множества А, если она удовлетворяет следующим условиям:

Любое A_i R является подмножеством множества А, т.е. A_i А

Любые два множества A_i R и A_j R і,jІ и i≠j являются попарно непересекающимися, т.е. A_i ⋂▒A_j =∅ ∀і,jІ, i≠j .

Объединение всех множеств A_i R ⋃_(∀iІ)▒A_i =А

В этом случае множество А называется сепарабельным.

5.Способы задания бинарных отношений:

1) Первый способ состоит в непосредственном перечислении таких пар. ОН приемлем лишь с случае конечного множества Х.

2) Второй способ задания отношения R на конечном множестве - матричный. Отношение задается, в общем случае прямоугольной матрицей. Для этого все элементы множества Х нумеруются, а элементы матрицы отношения R определяются из соотношения

а_ij (R)={(1,@0,)┤ для всех і,j

3) Третий способ – задание отношения в виде графа. Вершинам графа G(R) ставятся в соответствие (пронумерованные) элементы множества Х, если x_i 〖Rx〗_j, то от вершины x_i, проводят направленную дугу к вершине x_j, если x_i 〖¯R x〗_j, то дуга отсутствует.

6. Основные свойства бинарных отношений:

Рефлексивность xRx, ∀xХ;

Антирефлексивность x¯R x, ∀xХ;

Симметричность xRy□(⇒┬ ) yRx, ∀x,yХ;

Асимметричность xRy□(⇒┬ ) y¯R x, ∀x,yХ;

Антисимметричность ∀x,yХ xRy□(=) yRx⇒┬ x=y;

Транзитивность ∀x,y,zХ из xRy и yRz⇒┬ xRz;

7. Основные типы отношений:

Отношением эквивалентности (обозначается знаками «=» или «≈») называется отношение обладающее свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.

Отношением нестрогого порядка (используются обозначения ≤, ) называется отношение обладающее свойствами рефлексивности, асимметричности, транзитивности.

Отношением доминирования называется отношение, обладающее двумя свойствами: антирефлексивностью и асимметричностью . говорят что “х доминирует y “.

2.2 Выполнить над заданными множествами А и В действия: объединение, пересечение, дополнение, симметрическая разность, декартовое произведение, возведение в квадрат.

А={40,97,10,10,12,8,9,38,92,88,}

B={60,45,56,48,85,53,70,63,20,37}

1)Объединение С={40,97,10,10,12,8,9,38,92,88, 60,45,56,48,85,53,70,63,20,37}

2)Пересечение С={};