5.8 .Асимптоты

Пусть функция определена на полу бесконечном (типа или ) или бесконечном интервале.

Горизонтальная асимптота.

Пусть . Тогда говорят, что у функции имеется горизонтальная асимптота . График функции чаще всего имеет такой вид (при )

хотя, в принципе, может иметь и такой вид:

На рисунке приведен график функции , имеющей асимптоту .

Вертикальная асимптота.

Пусть при . Тогда говорят, что прямая является вертикальной асимптотой . График функции при приближении х к а ведет себя примерно так, как изображено на рисунках, хотя, конечно, могут быть разные варианты, связанные с тем, куда уходит  в  или в 

Чаще всего вертикальная асимптота появляется тогда, когда имеет вид

.

Тогда вертикальные асимптоты находятся как корни уравнения .

Наклонные асимптоты.

Характерной чертой и горизонтальной и вертикальной асимптот было то, что это прямые линии, к которым «приближается» график . В общем случае асимптота - это некоторая прямая, к которой неограниченно приближается функция при или .

Пусть уравнение асимптот есть . Значение функции при аргументе х есть . Неограниченное приближение к асимптоте означает, что величина стремится к 0 при : . (*) Если эта величина стремиться к нулю, то тем более стремиться к нулю величина: . Но тогда мы имеем

,

и так как последний предел равен нулю, то

.

Зная а, можно найти и b из исходного соотношения (*):

.

Тем самым параметры асимптоты полностью определяются.

Пример. Пусть, например, .

Тогда

, ,

то есть асимптота при имеет уравнение .

Аналогично можно показать, что при асимптота имеет вид .

Сам график функции выглядит так:

Общая схема исследования графика функции

1. Найти область определения .

2. Найти вертикальные асимптоты.

3. Исследовать функцию на экстремум.

4. Исследовать функцию на выпуклость-вогнутость.

5. Найти горизонтальные и наклонные асимптоты.

6. Найти значения функции в характерных точках (локальные экстремумы, точки перегиба), построить асимптоты и затем прикидочно график функции.

20