5.2 Условия постоянства и монотонности функции

Производные являются мощным средством исследования функций. Все дальнейшее в этом разделе посвящено именной этой теме.

Условие постоянства функции.

Теорема. Пусть определена и непрерывна на промежутке . Для того, чтобы она была равна константе необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство.

Необходимость. Пусть . Но тогда .

Достаточность. Пусть . Возьмем две любые точки . Тогда по формуле Лагранжа

,

то есть . Так как это верно для любых х₁ и х₂, то отсюда следует, что . 

Условие монотонности функции.

Теорема. Пусть определена и непрерывна на и в каждой точке существует . Тогда, для того, чтобы была монотонно возрастающей (убывающей) функцией необходимо и достаточно, чтобы ( ).

Доказательство.

Необходимость. Пусть монотонно возрастает. Рассмотрим

.

Но тогда, если , то и .

Если , то и .

Так как в результате предельного перехода неравенство измениться не может, то .

Достаточность. Пусть . Тогда, по формуле Лагранжа

,

так как . Но тогда , что и говорит о том, что монотонно возрастает. 

5.3 Экстремумы функции.

Определение 1. Говорят, что в точке x₀ функция имеет локальный максимум (локальный минимум), если

( ).

В этом определении обратите внимание на слово «локальный». Оно означает, что принимает свое наибольшее значение в точке x₀ только по отношению к отрезку . Вне этого отрезка о поведении функции ничего не утверждается: она может принять там и значение, большее чем . То же самое можно сказать и по отношению к локальному минимуму (см. рис.).

Определение 2. Говорят, что функция имеет в точке x₀ глобальный максимум (минимум) на множестве Х, если .

Термины «максимум» и «минимум» объединяют одним словом «экстремум» и говорят о локальном или глобальном экстремуме. Отметьте еще, что для непрерывной функции локальные максимумы или минимумы чередуются.

Нахождение локальных экстремумов  одна из важнейших задач исследования функций имеющая большое практическое значение. Перейдем к ее изучению.

Пусть функция определена на некотором отрезке . Научимся сначала находить локальные экстремумы, расположенные внутри этого отрезка.

Необходимое условие экстремума

Пусть в точке , такой, что , функция принимает свое экстремальное, то есть наибольшее или наименьшее значение. Тогда, по теореме Ферма,

.

Это и дает необходимое условие экстремума. Отметьте, что если выполнено условие , то это еще не означает, что в точке функция имеет локальный экстремум. Условие дает лишь точку «подозрительную» на экстремум, и что там на самом деле  еще предстоит ответить.

Достаточное условие экстремума

Итак, пусть в некоторой точке выполняется условие , то есть эта точка является точкой, «подозрительной» на экстремум. Что же на самом деле в этой точке?

Для дальнейшего основным для нас будет разложение функции в ряд Тейлора с остаточным членом в форме Пеано

, (*)

и тот факт, что из-за условия второе слагаемое в этом разложении исчезает.

Разберем основные случаи в порядке их усложнения.

А. Пусть . Тогда разложение (*) принимает вид

.

Функция  это парабола. График в окрестности точки в зависимости от знака изображен на рисунках.

Из рисунков видно, что если < то в точке  локальный минимум, а если , то в  локальный максимум.

Б. Пусть но . Тогда разложение (*) примет вид

.

График функции в окрестности точке имеет вид

Отсюда видно, что экстремума в точке нет.

В. Пусть , но . Тогда

.

График функции напоминает параболу. Поэтому график в окрестности точки имеет вид

Отсюда видно, что если ,то в точке  локальный минимум, а если , то в точке  локальный максимум.

Г. Пусть , но . Тогда

.

Так как 2п+1  нечетное число, то график напоминает график функции . Поэтому график в окрестности точки имеет вид, изображенный на рисунках. Отсюда видно, что в точке экстремума нет.

Случай, когда в точке х₀ существуют лишь односторонние производные

На теорему Ферма можно ссылаться лишь тогда, когда в точке . Если же не существует, то теорема Ферма не работает. Рассмотрим случай, когда в точке существуют лишь односторонние производные и . Вспоминая, что производная  это тангенс угла наклона касательной к оси OY, будем иметь следующие четыре варианта:

Отсюда видно, что если и имеют разные знаки, то в точке  локальный экстремум. Если и имеют одинаковые знаки, то локального экстремума нет.

Граничные точки

Рассмотрим, наконец, граничные точки a и b отрезка . Здесь поведение функции может быть следующим:

Таким образом, то, что мы имеем в граничных точках, определяется знаком первой производной.

Подведем итоги.

Схема исследования функции на экстремумы

Чтобы исследовать экстремумы функции надо сделать следующее:

1. Найти те точки , в которых . Это будут точки, «подозрительные» на наличие в них экстремума.

2. В точках, где , найти первую по порядку старшинства производную, отличную от нуля. Если это будет производная четного порядка, то в точке  локальный экстремум (если эта производная отрицательная  то максимум, если положительная  то минимум); если же нечетного порядка  в точке экстремума нет.

3. Найти те точки, где существуют лишь односторонние производные. Если эти производные разных знаков  в точке локальный экстремум, если одного знака  экстремума нет.

4. Найти производные на границах области задания функции и определить, как ведет себя функция на границе.

5. Вычислить значения функции в точках локальных минимумов и максимумов и найти глобальный минимум (наименьший из локальных минимумов) и глобальный максимум (наибольший из локальных максимумов).