5.5 Связь понятия выпуклости функции с поведением ее производной

Теорема. Пусть функция определена на и в каждой точке этого промежутка существует . Тогда для того чтобы была выпуклой необходимо и достаточно, чтобы ее производная была монотонно возрастающей функцией.

Доказательство этой довольно громоздкой теоремы разобьем на несколько частей

1. Преобразование условия выпуклости

Определение выпуклости имело вид

.

Пусть . Обозначим . Так как , то . Далее имеем

, , .

(Обратите внимание на то, что выражения для  и выгоднее сразу писать так, чтобы и в числителе и в знаменателе стояли положительные величины). Условие выпуклости примет вид

.

Так как , то имеем

,

,

.

Так как и то, деля обе части этого неравенства на , получим

(*)

при . Именно это неравенство мы и будем использовать в качестве условия выпуклости.

2. Необходимость.

Пусть выпукла. Сделаем в условии (*) сначала предельный переход , а затем :

Предельный переход	Предельный переход
, .	, .

Сравнивая два последних неравенства мы получим, что , а так как у нас в самом начале было , то это и означает, что монотонно возрастает.

3. Достаточность. Пусть монотонно возрастает. Тогда, по формуле Лагранжа

,

.

Так как получилось, что , то и, следовательно,

,

что и говорит о том, что  выпуклая функция.

Следствие. Пусть . Тогда для того, чтобы была выпуклой необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство

1. выпукла   ;

2.   выпукла.

5.6 Связь выпуклости функции с ее касательной

Теорема. Пусть определена на и в каждой точке этого промежутка существует . Тогда для того, чтобы была выпуклой необходимо и достаточно, чтобы ее график лежал над касательной, проведенной к любой ее точке.

Доказательство.

1. Уравнение касательной.

Рассмотрим уравнение прямой, проходящей через точку . Пусть есть некоторая точка, лежащая на нашей прямой. Тогда , где   угол наклона прямой к оси ОХ.

Вернемся теперь к нашей кривой. Пусть есть некоторая точка, лежащая на нашей кривой. Как было показано в главе 4, для касательной к кривой , поэтому уравнение касательной к точке имеет вид

,

которое в стандартной форме пишут так:

.

Вернемся теперь к доказательству теоремы.

2. Необходимость.

Пусть выпукла. Тогда ее производная монотонно возрастает. Пусть . Тогда

так как . Так как , то имеем

,

что и говорит о том, что точка кривой лежит выше соответствующей точки касательной.

Пусть теперь . Тогда

так как и . Так как , то

,

откуда получаем

то есть снова точка кривой лежит выше соответствующей точки касательной.

Итак, в любом случае получилось, что , то есть график функции лежит над касательной.

3. Достаточность.

Пусть график функции лежит над касательной, то есть

.

Возьмем . Тогда

, .

Возьмем . Тогда

, ,

так как в этом случае , а при делении на отрицательное число неравенство меняет знак. Сравнивая оба неравенства получим, что для

,

а это и есть условие выпуклости, так как по условию теоремы точка произвольна.