Глава 5. Применение производных
5.1. Правило Лопиталя.
Среди
неопределенных выражений
чаще всего приходится встречаться с
неопределенностями типа
или
.
При их раскрытии очень помогает так
называемое правило Лопиталя.
Раскрытие неопределенностей типа .
Теорема 1. Пусть
а)
функции
и
определены и непрерывны на
;
б) в
существуют
и
,
причем
;
в)
;
г)
.
Тогда
.
Доказательство.
В
точке а
функции
и
не
определены. Доопределим их по непрерывности,
полагая
.
Тогда по формуле Коши
,
где
.
Поэтому при
также
будет
.
Переходя к пределу, получим
,
так как последний предел существует.
Теорема 2.
Пусть
а)
функции
и
определены и непрерывны на
;
б) в
существуют
и
,
причем
;
в)
;
г) .
Тогда .
Доказательство.
Сделаем
«замену переменной»
.
Тогда при
и
мы можем воспользоваться предыдущей
теоремой. Имеем
,
что и доказывает теорему.
Несмотря на свою внешнюю простоту, правило Лопиталя довольно сложно при его практическом использовании. При практическом применении этого правила следует иметь в виду следующие рекомендации:
а)
прежде, чем находить
рекомендуется
выражение
упрощать, насколько это возможно;
б) если при вычислении снова подучилась неопределенность, то применить правило Лопиталя еще раз. Однако перед его повторным применением рекомендуется выделить отдельно сомножители, не стремящиеся к нулю, и заменить их предельными значениями.
Рассмотрим два примера на эти рекомендации.
Пример 1.
Вычислить
.
Решение. Используем правило Лопиталя. Имеем
И вот
тут не имеет смысла сразу подставлять
,
так как снова получилась неопределенность.
Не имеет также смысла сразу применять
правило Лопиталя еще раз
залезем в такие дебри, из которых не
выберемся. Поэтому сначала упрощаем
убираем «трехэтажность» и сокращаем
сомножитель
:
И вот тут уже можно смело подставить , так как нет никакой неопределенности:
=2.
Пример 2.
Вычислить
.
Решение. Используем правило Лопиталя и упрощаем. Имеем
У нас снова получилась неопределенность. Но, прежде чем применять правило Лопиталя еще раз, надо сначала выделить сомножители, не стремящиеся к 0, и вычислить их предел отдельно:
А вот теперь к оставшемуся выражению применяем правило Лопиталя еще два раза:
.
Раскрытие
неопределенностей типа
.
Теорема. Пусть
а) функции и определены и непрерывны на ;
б) в существуют и , причем ;
в)
;
г) .
Тогда .
Доказательство.
Ввиду громоздкости доказательства, разобьем его на части.
А) Избавление от производных.
В условии теоремы сказано, что . Это значит, что
.
Возьмем
х
и х0
так, чтобы было
.
Тогда, по формуле Коши,
,
и
.
Поэтому для этих х
и х0
имеем
.
В дальнейшем х0 фиксируем.
Б) Полезное соотношение.
Имеем, раскрывая скобки,
.
Исходное выражение взято «с потолка». Отсюда получаем
.
В) Предельный переход.
При
.
Поэтому
.
Это означает, что
.
Берем
.
Тогда
,
так
как
<1.
Это, по определению
предела, и означает, что
.
Заметим,
что правило Лопиталя позволяет раскрывать
и неопределенности типа
,
если произведение
привести к виду
или
.
Заметим
еще, что обратное, вообще говоря, не
верно: из существования предела отношения
не
следует
существование предела отношения
.