Формула Лагранжа

Рассмотри частный случай, когда . Тогда формула Коши приобретает вид

,

или

,

где . Эта формула и называется формулой Лагранжа. В дальнейшем мы будем на нее часто ссылаться.

Заметим, что точка не обязательно единственная: может быть несколько точек , удовлетворяющих формулам Коши или Лагранжа.

Рассмотрим еще вопрос о геометрическом смысле формулы Лагранжа. Пусть мы имеем график . Проведем через точки и секущую. Она образует с осью OX угол и, как видно из рисунка, . Но есть тангенс угла, который касательная к кривой в точке образует с осью OX. Поэтому формулу Лагранжа можно трак­товать так: существует точка ,

в которой касательная параллельна секущей, соединяющей точки и .

4.6 Дифференциал

Рассмотрим важное для дальнейшего понятие дифференциала.

Напомним, что величина называется приращением функции.

Определение 1. Функция называется дифференцируемой в точке , если ее приращение можно представить в виде

.

Определение 2. Линейная часть приращения функции, то есть называется дифференциалом функции и обозначается

.

Чтобы точно уяснить эти определения функции рассмотрим пример. Пусть . Тогда

Заметим, что содержит слагаемое, линейное по , слагаемые с и . Так вот, только слагаемое, линейное по дает дифференциал, то есть

.

Теорема о дифференцируемости функций

Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала производная . При этом .

Доказательство

Необходимость. Пусть дифференцируема в точке . Это значит, что

Деля на

и переходя к пределу , получим

.

Достаточность. Пусть в точке существует производная

.

Это, по определению, означает, что

,

где  бесконечно малая величина. Отсюда следует, что

.

Но и поэтому

,

что и требовалось доказать. 

Выражение для дифференциала

Итак, мы получили, что для дифференцируемой функции . Это означает, что

.

Но если взять , то мы получим, что , то есть дифференциал независимой переменной равен ее приращению. Поэтому окончательно

Отсюда следует, что

то есть производная есть отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной. Заметьте, что есть обычная дробь и с ней можно обращаться как с обычной дробью.

Геометрический смысл дифференциала

Вспомним, что есть тангенс угла наклона касательной к оси OX. Поэтому, если провести касательную к кривой в точке , то будет катетом, который проти­волежит углу в треугольнике, гипотенуза которого образована касательной, а другой катет есть приращение (см. рисунок). На рисунке нарисован и отрезок , так что видно отличие и .

Правила дифференцирования

Пользуясь формулой выведем несколько важных формул, касающихся дифференциалов.

1. .

Действительно

.

2.

Имеем

.

3. .

Имеем

.

4. .

Имеем

.

5. .

Имеем

.

В качестве приложения понятия дифференциала выведем формулу для производной от функций, заданных параметрически.

Параметрическое задание функции заключается в том, что и и задаются как функции некоторого параметра , то есть

, .

Значение параметра определяет одновременно и и , и, тем самым, некоторую точку на плоскости. Меняя , мы двигаем точку на плоскости, и она описывает некоторую кривую, определяющую зависимость от . Параметрическое задание функции считается самым общим способом задания кривых на плоскости.

Имеем

,

.

Отсюда производная от по имеет вид

.

Сокращая на получим окончательно

.

Производные и дифференциалы высших порядков.

Пусть имеется функция , от которой мы вычислили первую производную . Но снова является функцией и от нее можно тоже вычислить производную. Производная от первой производной то есть называется второй производной и обозначается :

.

Аналогично, производная от второй производной называется третьей производной

.

Аналогично определяются производные более высоких порядков. Отметим только, что производные более высоких порядков отмечаются не штрихами (их было бы слишком много) а цифрами, заключенными в скобки  , и т.д.

Итак, производная n-го порядка определяется как производная от производной (n1)-го порядка

.

Основные формулы, касающиеся производных высших порядков, следующие:

1. .

2. .

3. .

Первые две формулы очевидны. Докажем лишь третью формулу, носящую название формулы Лейбница. При ее доказательстве следует только иметь в виду, что, по определению, производной нулевого порядка считается сама функция, то есть .

Доказательство проведем по индукции. При имеем

,

то есть для формула Лейбница верна.

Прежде, чем делать шаг по индукции, докажем одно вспомогательное соотношение:

.

А теперь  шаг по индукции. Пусть формула Лейбница верна для некоторого п, то есть

.

Для краткости записи аргументы у функций опущены.

А теперь имеем:

,

то есть формула Лейбница верна и для . 

Аналогично этому, дифференциалом второго порядка называется дифференциал от первого дифференциала, то есть

.

Выведем формулу для . Имеем

.

При дальнейшем преобразовании следует иметь в виду, что , совпадающее с приращением аргумента , есть величина, совершенно не зависимая от , так как мы можем взять каким угодно. Поэтому по отношению к играет роль константы:

.

Скобки у обычно не пишут

.

Отсюда

.

Аналогично, дифференциал третьего порядка определяется как дифференциал от второго дифференциала

.

Имеем

так что

; .

В общем случае

.

Легко показывается по индукции, что

; .