4.3 Таблица производных

Выведем теперь таблицу производных от элементарных функций

1.

Действительно, если , то

.

2.

Имеем

(вынесем вверху за скобки)

(Сделаем «замену переменных» . Тогда и )

,

где был использован замечательный предел.

Рекомендуется запомнить некоторые частные случаи этой формулы

а)

б)

3.

Имеем

,

где был использован замечательный предел

Особенно простой результат получается при

4.

сделаем «замену переменных» . Тогда и

Особенно простой результат получается при

5.

Имеем

.

где также был использован замечательный предел.

6. .

7. .

Так как , то

.

8. .

Вывод аналогичен

9.

В данном случае и , то есть . Поэтому

.

10.

Вывод аналогичен.

11. .

В данном случае и , то есть . Поэтому

.

12. .

Вывод аналогичен.

13.

Действительно

.

14. 15. .

Вывод аналогичен

Все эти формулы сведены в таблицу, которую следует заучить

Таблица 2

функция	производная	функция	производная
1.		7.
2.		8.
		9.
		10.	
3.		11.
		12.
4.		13.
		14.
5.		15.
6.

§1.Особые случаи

То, что в точке функция непрерывна не означает, разумеется, что в этой точке у нее обязательно существует производная. Функция может быть непрерывной, а производной может и не существовать. Что же там может быть?

1. Односторонние производные

Назовем

производной от функции в точке слева, а

производной в той же точке справа. Разумеется, если , то это означает, что в точке существует . Но могут быть случаи, когда и существуют, но не равны друг другу. В этом случае не существует и . График функции имеет в точке в этом случае «излом», и в этой точке к графику можно провести две касательные (см. рисунок).

2. Бесконечная производная

Рассмотрим функцию определенную для и потребуем найти . Имеем и производная равна . Рассматривая график функции легко увидеть, что это означает просто то, что в точке касательная к графику параллельна оси OY.

3. Несуществование производной

Наконец, может быть ситуация, когда , фигурирующий в определении производной, не существует.

Рассмотрим для примера, . Так как , то . Поэтому, полагая , получим

,

и этот предел просто не существует.

Из графика функции видно, что с приближением к точке касательная колеблется, не стремясь ни к какому опреде­ленному положению. В математике построены даже примеры функций, которые являются непрерыв­ными, но ни в одной точке не имеют производной.