3.10 Типы неопределенных выражений.

При решении различных практических задач большую роль играют так называемые неопределенные выражения или, коротко, неопределенности. Рассмотрим основные их типы.

Пусть имеются две функции и .

1. Пусть . Тогда предел вида называется неопределенностью типа . Процесс вычисления этого предела называется "раскрытием неопределенности". Разумеется, что формула здесь неприменима, так как

2. Пусть . Тогда предел вида называется неопределенностью типа .

3. Пусть . Тогда предел вида называется неопределенностью типа . Разумеется, и здесь нельзя пользоваться формулой

Степенные неопределенности.

Рассмотрим теперь предел вида . Так как , то, пользуясь непрерывностью функции e^x, можно записать

,

и проблема вычисления искомого предела сводится к вычислению предела .

Это можно сформулировать в виде следующего правила: для вычисления предела выражения вида надо это выражение сначала прологарифмировать.

Какие же неопределенности могут иметь здесь место? Так как приходится вычислять , а здесь возможна только неопределенность типа , то возможны следующие варианты.

1.  . Последнее означает, что и поэтому говорят, что мы имеем дело с неопределенностью типа .

2.  . Последнее означает, что , и поэтому говорят, что мы имеем дело с неопределенностью типа 0⁰.

3.  . Последнее означает, что и поэтому говорят, что мы имеем дело с неопределенностью типа 1^.

В последнем случае можно дать более простую формулу для вычисления величины с. . Мы имеем следующую цепочку преобразований

,

так как после замены переменных , получим:

.

Эта формула гораздо проще для вычислений.

23