3.4 Теоремы о непрерывных функциях.

Перейдем к доказательству важнейших теорем о непрерывных функциях.

Первая теорема Больцано-Коши. Пусть f(x) определена и непрерывна на отрезке [a, b] и на концах этого отрезка принимает разные по знаку значения. Тогда существует точка c[a, b] в которой f(c)=0.

Доказательство.

Пусть, для определенности, f(a)<0, f(b)>0. Ситуация выглядит так:

Для доказательства теоремы снова используем метод деления отрезка пополам.

1. Деление отрезков пополам.

Разделим отрезок [a, b] пополам. Серединой его будет точка . Тогда возможны такие варианты:

а) . В этом случае, взяв , теорему можно считать доказанной.

б) . В этом случае для дальнейшего рассмотрения оставим отрезок , который обозначим [a₁, b₁].

в) В этом случае для дальнейшего рассмотрения оставим отрезок , который обозначим [a₁, b₁].

Проделаем такую же процедуру с отрезком [a₁, b₁], получив отрезок [a₂, b₂], затем то же самое с отрезком [a₂, b₂], получив отрезок [a₃, b₃] и т.д. Заметим, что для дальнейшего рассмотрения все время оставляется тот отрезок, для которого f(a_n)<0 и f(b_n)>0.

2. Построение точки с.

В результате этой процедуры возможны два варианта.

А. На каком-то шаге n получится, что . В этом случае в качестве точки с следует взять и теорема будет доказана.

Б. .

В этом случае мы получаем систему отрезков [a_n, b_n], для которой

а) [a, b] [a₁, b₁] [a₂, b₂] [a₃, b₃]…

б)

в) f(a_n)<0; f(b_n)>0

3. Но тогда, по лемме о вложенных отрезках, существует . Используя непрерывность функции f(x), получим

так как всегда было f(a_n)<0, f(b_n)>0. Сравнивая эти два неравенства получим, что f(c)=0, что и требовалось доказать. 

Вторая теорема Больцано-Коши. Пусть f(x) определена и непрерывна на отрезке <a, b> и и . Тогда m<C<M с<a, b> f(c)=C.

Примечание. Символ < означает любой из двух символов – ( или [, а символ >  любой из двух символов  ) или ]. Таким образом, отрезок <a, b> означает любой из следующих отрезков – [a, b], (a, b], [a, b), или (a, b).

Доказательство.

Так как к супремуму и инфимуму можно подойти сколь угодно близко, то можно утверждать, что

x₁<a, b> m<f(x₁)<C,

x₂<a, b> C<f(x₂)<M

Очевидно, что отрезок [x₁, x₂] <a, b>.

Рассмотрим функцию  (x)=f(x)C. Для нее имеем:

 (x₁)=f(x₁)C <0;  (x₂)=f(x₂)C >0.

Согласно первой теореме Больцано-Коши, с[x₁, x₂], такая, что  (с)=0. Но тогда эта же точка с<a, b> и для нее (с)=f(c)C = 0, то есть f(c) = C. 

Первая теорема Вейерштрасса.

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на замкнутом отрезке [a, b]. Тогда она ограничена на этом отрезке, то есть существуют такие числа m и M, что x[a, b] mf(x)M.

Доказательство.

Доказательство этой теоремы проведем методом от противного.

Предположим противное – пусть, например, функция f(x) неограничена сверху.

1. Построение последовательности. Мы предположили, что f(x) неограничена сверху на [a, b]. Это означает, что для любого числа А найдется такая точка x[a, b], что f(x)>A.

Возьмем в качестве числа А числа 1, 2, 3, 4,… Тогда , что f(x_n)>n. Мы получили, таким образом, некоторую последовательность {x_n}[a, b] и удовлетворяющую свойству f(x_n) > n.

2. Выделение подпоследовательности. Так как последовательность {x_n} ограничена, то по лемме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся последовательность {x_n}, то есть . В силу замкнутости отрезка [a, b] точка c [a,b].

(Отметим, что в этом месте используется ограничение теоремы – замкнутость [a, b]. Если бы, например, был (a, b), то с могла бы и не принадлежать (a, b)).

3. Сведение к противоречию. Так как согласно п.1 , то, переходя к пределу k, получим

,

то есть f(c)=+, что противоречит условию теоремы, где сказано, что f(x) определена на отрезке [a,b], что означает, что f(c) должна иметь конечное значение. 

Существенность ограничений теоремы.

В теореме два ограничения  непрерывность функции и замкнутость отрезка [a, b]. Покажем на примерах, что отказ от любого из этих ограничений приводит к тому, что теорема становится неверной.