1. Непрерывность функции.

Рассмотрим функцию и . Как видно из рисунка, эта функция неограничена на .

2. Замкнутость отрезка.

Пусть и . Как видно из рисунка, данная функция на этом отрезке также неограничена.

Вторая теорема Вейерштрасса.

Пусть функция f(x) определена и непрерывна на замкнутом отрезке [a, b]. Тогда существуют такие точки x₁, x₂[a, b], что , то есть инфимум и супремум f(x) достигаются на [a, b].

Доказательство.

Докажем теорему только для супремума.

1. Построение последовательности. По первой теореме Вейерштрасса, f(x) ограничена сверху на [a, b], то есть

По свойствам супремума, к нему можно подойти сколь угодно близко. Поэтому . Беря n=1,2,3,… получим последовательность {x₁, x₂, x₃,…} такую, что .

2. Выделение подпоследовательности. Так как n ax_nb, то по лемме Больцано-Вейерштрасса, из последовательности {x_n} можно выделить сходящуюся подпоследовательность такую, что , причем с[a, b] в силу его замкнутости.

3. Достижение супремума. Для нашей подпоследовательности верно условие

.

Переходя к пределу k, получим

.

Но , кроме того, в силу непрерывности f(x), . В результате получим, что Mf(c)M, то есть f(c)=M и супремум f(x) достигается в точке с. 

Существенность ограничений теоремы.

В этой теореме также два ограничения  непрерывность функции и замкнутость отрезка [a, b]. Покажем на примерах, что отказ от любого из этих ограничений приводит к тому, что теорема становится неверной.

1. Непрерывность функции.

Рассмотрим функцию , называемую дробной частью числа х. Ее график приведен на рисунке. Ясно, что супремум этой функции равен 1, но он нигде не достигается.

2. Замкнутость отрезка.

Рассмотрим функцию и пусть . В этом случае , но этот супремум не достигается, так как точка (см. рис.).

3.5 Равномерная непрерывность. Теорема Кантора.

Разберем теперь важное и сложное понятие равномерной непрерывности функции.

Пусть имеется функция f(x), которая непрерывна на некотором множестве Х. Вспомним, что это означает: это означает, что f(x) непрерывна в каждой точке этого множества и записывается так:

.

Обратим внимание на величину стоящую после квантора . От чего она зависит?

Общее правило гласит, что величина,стоящая после квантора зависит от всех величин, которые стоят после кванторов , которые расположены впереди квантора . В данном случае перед стоят два квантора . Поэтому зависит от  и, и это самое главное, от х₀, то есть ,x₀).

Так вот, эта зависимость  от х₀ очень сильно мешает при доказательстве многих теорем. Хотелось бы, чтобы  зависело только от  и не зависело от х₀, то есть  было бы одинаково пригодно для всех х₀ Х. Это желание избавиться от зависимости  от х₀ и приводит к понятию равномерной непрерывности.

Определение. Функция f(x) называется равномерно непрерывной на множестве Х, если

.

Обратите внимание на то, куда преместился квантор . Теперь он стоит после квантора и поэтому зависит теперь только от  и не зависит от х₀. Это местоположение квантора и есть главное в понятии равномерной непрерывности f(x) на множестве Х.

А теперь докажем достаточно сложную теорему о равномерной непрерывности f(x).

Теорема Кантора. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на замкнутом отрезке [a, b]. Тогда она равномерно непрерывна на этом отрезке.

Доказательство.

Доказательство этой теоремы проведем методом от противного.

Надо доказать:

.

Противоположное утверждение:

.

1. Построение последовательностей.

Возьмем то >0, которое, согласно противоположному утверждению, «существует».

Возьмем любую последовательность _n, которая монотонно убывает до нуля, то есть

₁>₂>₃>…_n0, при n.

Тогда для каждого _n

.

Перебирая все _n мы получим две последовательности {x_n} и .

2. Выделение сходящихся подпоследовательностей. Рассмотрим последовательность {x_n}. Она ограничена, так как ax_nb. По лемме Больцано-Вейерштрасса, из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность , то есть для которой . Заметим, что c[a, b] в силу замкнутости [a, b].

А что можно сказать о подпоследовательности ? Так как , то

.

Но так как а то по теореме «о двух милиционерах» отсюда следует, что также , то есть подпоследовательность сходится к тому же пределу c, что и .

3. Сведение к противоречию.

Рассмотрим теперь последний квантор

.

Переходя к пределу k и учитывая непрерывность функции y=|x|, получим:

,

.

В силу непрерывности f(x) , так что получаем, что

,

то есть получаем, что 0. Это противоречит квантору , где строго больше 0.