Глава 3. Непрерывные функции

3.1 Определения. Определение 1. Функция f(X) называется непрерывной в точке х0, если .

Дадим несколько расшифровок этого важнейшего определения.

а) Вспоминая понятие предела, запишем непрерывность f(x) в точке х₀ в виде

.

б) Так как , то непрерывность в точке х₀ можно записать в виде

.

Отсюда следует важнейшее свойство непрерывной функции: для непрерывной функции можно переставлять местами знак функции и знак предельного перехода

в) Обозначим x=xx₀ (приращение аргумента) и f=f(x)  f(x₀) (приращение функции). Тогда непрерывность в точке х₀ означает, что , то есть бесконечно-малому приращению аргумента соответствует бесконечно-малое приращение функции.

Ведем обозначения:

,

если эти пределы существуют.

Определение 2. Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀ слева (справа) если f(x₀)=f(x₀ – 0) (f(x₀)=f(x₀+0)). Очевидно, что непрерывность в точке х₀ означает непрерывность слева и справа одновременно.

Определение 3. Функция f(x) называется непрерывной на некотором множестве Х, если она непрерывна в каждой точке этого множества, то есть если

Обратите внимание, где стоит квантор , это важно.

Определение. Если функция f(x) не является непрерывной в точке х₀, то говорят, что в точке х₀ функция f(x) имеет разрыв.

3.2 Типы разрывов.

А. Пусть существуют конечные f(x00) и f(x0+0), они равны друг другу, но не равны значению функции в точке х0, то есть выполнено условие f(x00) = f(x0+0) ≠ f(x0), то говорят, что в точке х0 функция f(x) имеет устранимый разрыв. Действительно, достаточно изменить значение функции в точке х0 и разрыв исчезнет. Вид графика функции в этом случае приведен на рисунке.

В. Пусть существуют конечные f(x₀0) и f(x₀+0), но они не равны друг другу . Тогда говорят, что в точке х₀ функция f(x) имеет разрыв I рода или скачок.

График функции f(x) в окрестности точки х₀ имеет в этом случае примерно такой вид:

Величина |f(x₀+0)f(x₀-0)| называется величиной скачка функции f(x) в точке х₀.

В. Если хотя бы один из пределов или бесконечен или не существует, то говорят, что в точке х₀ функция f(x) имеет разрыв второго рода.

Виды графика функции f(x) в окрестности точки х₀ в этом случае гораздо разнообразнее. Некоторые возможные варианты приведены ниже.

, ,

, ,

,	; и не существуют.

3.3 Свойства непрерывных функций. Непрерывность сложной функции.

Теорема 1. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х₀. Тогда функции f(x)±g(x), f(x)g(x) и (если g(x₀)0) непрерывны в точке х₀.

Доказательство.

Пусть f(x) и g(x) непрерывны в точке x₀. Это значит, что . Но тогда, по свойствам пределов

Последнее свойство верно, если . 

Пусть y=f(x), но x, в свою очередь, является функцией некоторого аргумента t: x=(t). Тогда комбинация y=f((t)) называется сложной функцией, или суперпозицией функций f(x) и (t).

Примеры:

а) y=sin(x), x=e^t  y=sin(e^t)

б) y= e^x , x=sin(t)  y= e^sin(t)

Теорема о непрерывности сложной функции.

Пусть функция (t) непрерывна в точке t₀ и функция f(x) непрерывна в точке х₀=(t₀). Тогда функция f((t)) непрерывна в точке t₀.

Доказательство.

Для доказательства этой теоремы воспользуемся формальным преобразованием двух строчек кванторов. Имеем

непрерывна в точке ,

непрерывна в точке , или .

Выписывая подчеркнутые кванторы, получим, что

,

что и говорит о том, что f((t)) непрерывна в точке t₀. 

Обратите внимание на следующие детали:

а) так как x=(t), то |(t)-(t₀)|< может быть записано как |xx₀|<, и f(x) превращается в f((t));

б) при определении непрерывности (t) в точке t₀ в первом кванторе стоит буква . Это необходимо для согласования с квантором в предыдущей строке и взаимного уничтожения . Любая другая буква на этом месте не дала бы верного результата.