Модель пропорциональных интенсивностей Кокса с зависящими от времени ковариатами

Обоснованность предположения пропорциональности интенсивности часто подвергается сомнению. Например, рассмотрим гипотетическое исследование, в котором ковариатой является категориальная (групповая) переменная, а именно, индикатор того, подвергнут некоторый пациент или нет хирургической операции. Пусть пациент 1 подвергнут операции, в то время как пациент 2 - нет.

Согласно предположению пропорциональности отношение функций интенсивностей для обоих пациентов не зависит от времени и означает, что риск для пациента, подвергнутого операции, постоянно более высокий (или более низкий), чем риск пациента, не подвергнутого операции (при условии, что оба дожили до рассматриваемого момента). Однако обычно более реалистична другая модель, а именно: сразу после операции риск прооперированного пациента выше, однако при благоприятном исходе операции с течением времени убывает и становится меньше риска не оперированного пациента. В этом случае предпочтительнее ковариаты, зависящие от времени.

Можно привести много других примеров, где предположение о пропорциональности неприемлемо. Так, при изучении физического здоровья возраст является одним из факторов выживаемости после хирургической операции. Ясно, что возраст - более важный предиктор для риска сразу после операции, чем по прошествии некоторого времени после операции (например, после первых признаков выздоровления). В ускоренных испытаниях на надежность иногда используют нагрузочную ковариату (например, уровень напряжения), которую медленно наращивают со временем вплоть до отказа прибора, например, до пробоя изоляции; см. Lawless, 1982, стр. 393). В этом случае влияние ковариаты опять зависит от времени.

Проверка предположения пропорциональности. Как отмечалось в предыдущих примерах, часто предположение пропорциональности не выполняется. В таком случае, можно явно определить ковариаты, как функции времени. Например, рассмотрим набор данных, представленных Pike (1966), который состоит из времен жизни двух групп крыс, одна из которых была контрольной, а другая была подвергнута воздействию канцерогена (см. также подобный пример в работе Lawless, 1982, стр. 393). Предположим, что z - групповая переменная со значениями 1 и 0 для подвергнутых воздействию и контрольных крыс соответственно. Тогда можно проводить подгонку функции интенсивности с помощью модели пропорциональных интенсивностей вида:

h(t,z) = h₀(t)*exp{b₁*z + b₂*[z*log(t)-5.4]}

Обратите внимание, что функция интенсивности в момент t есть функция: (1) базовой функции интенсивности h₀, (2) ковариаты z и (3) z-кратного логарифма времени. Заметим, что константа 5.4 использована здесь только как нормировка, т.к. среднее логарифма времени жизни для этого множества данных равно 5.4.

Другими словами, структурированный моделью множитель с ковариатами в каждый момент времени есть функция ковариаты и времени; таким образом, влияние ковариаты на выживаемость зависит от времени; отсюда название - ковариата, зависящая от времени. Эта модель позволяет использовать специфический критерий проверки предположения пропорциональности. Если параметр b₂ статистически значим (например, если он, по крайней мере, в два раза больше своей стандартной ошибки), то можно сделать вывод, что ковариаты z действительно зависят от времени, и поэтому предположение пропорциональности не выполняется.

 

Экспоненциальная регрессия

В своей основе эта модель предполагает, что распределение продолжительности жизни является экспоненциальным и связано со значениями некоторого множества независимых переменных (z_i). Параметр интенсивности экспоненциального распределения выражается в виде:

S(z) = exp(a + b₁*z₁ + b₂*z₂ + ... + b_m*z_m)

Здесь S(z) обозначает время жизни, a - константа, а b_i - параметры регрессии.

Согласие. Значение критерия хи-квадрат может быть вычислено как функция логарифма правдоподобия для модели со всеми оцененными параметрами (L₁) и логарифма правдоподобия модели, в которой все ковариаты обращаются в 0 (L₀). Если значение хи-квадрат статистически значимо, отвергаем нулевую гипотезу и принимаем, что независимые переменные значимо влияют на время жизни.

Стандартная экспоненциальная порядковая статистика. Один из способов проверки предположения экспоненциальности - построение остатков времен жизни и сравнение их со значениями стандартных экспоненциальных порядковых статистик альфа.

 Нормальная и логнормальная регрессия

В этой модели предполагается, что времена жизни (или их логарифмы) имеют нормальное распределение. Модель в основном идентична обычной модели множественной регрессии и может быть описана следующим образом:

t = a + b₁*z₁ + b₂*z₂ + ... + b_m*z_m

Здесь t означает время жизни. Если принимается модель логнормальной регрессии, то t заменяется ln t. Модель нормальной регрессии особенно полезна, поскольку часто данные могут быть преобразованы в нормальные применением нормализующих аппроксимаций. Таким образом, в некотором смысле это наиболее общая параметрическая модель (в противоположность модели пропорциональных интенсивностей Кокса, которая является непараметрической), оценки которой могут быть получены для большого разнообразия исходных распределений времен жизни.

Согласие. Значение хи-квадрат может быть вычислено как функция логарифма правдоподобия для модели со всеми независимыми переменными (L₁) логарифма правдоподобия для модели, в которой все независимые переменные заменены 0 (L₀).