2.3. Середні величини та способи їх обчислення

Для того, щоб мати уявлення про розподіл показників, виникає необхідність розрахунку характеристик статистичних рядів розподілу. Найважливішою характеристикою варіаційного ряду розподілу є середня величина.

Середньою величиною у статистиці називається узагальнююча характеристика сукупності однотипних явищ з будь-якої варіаційної ознаки, що показує рівень ознаки, розрахований на одиницю сукуп­ності. Разом із методом групувань середні величини у статистиці є одним з основних методів опрацювання й аналізу масових даних.

Середня величина як категорія стати­стики — це, з одного боку, реальний показник, що відображає об'єк­тивно існуючі властивості суспільних явищ, на основі яких можуть бути обчислені середні показ­ники; а з другого — у ній взаємознищуються індивідуальні розхо­дження багатьох величин одного і того самого виду.

У статистиці застосовуються кілька видів середніх величин. Усі вони належать до класу степеневих середніх, загальна формула якої має такий вигляд: ,

де - середня величина; X— варіанта; т — показник степеня середнь­ої; n - число одиниць сукупності.

Якщо т = 1, то середня арифметична - ;

Якщо т = 2, то середня квадратична - ;

Якщо т = -1, то середня гармонійна - ;

Якщо m=0, то середня геометрична - ,

де К₁, К₂, ….К_n – ланцюгові коефіцієнти динаміки.

Обчислення середніх величин є складовою частиною бага­тьох статистичних методів: групувань, рядів динаміки, індексних розрахунків, показників варіації, вибіркового ме­тоду та ін.

Для виявлення взаємозв'язків і взаємозалежностей між ознаками у статистичних групуваннях виділяють групи за чинниковою ознакою, де по кожній групі обчислюють серед­ню арифметичну результативної ознаки. Зміна цих середніх величин від групи до групи показує характер і напрями зв'язку між ознаками.

Порівняння середніх величин у динаміці дає змогу вия­вити основні тенденції та закономірності у розвитку явищ, їх інтенсивності та сезонності коливання.

Середні величини є основою для розрахунку граничних помилок даних вибіркового обстеження сукупності. Це база для кореляційного, регресійного і дисперсійного аналізу.

Основні завдання розрахунку середніх величин - це ха­рактеристика зміни явищ у динаміці; тенденції у розвитку явищ, співвідношення двох або кількох рівнів, зв'язків і залежностей між явищами, виявлення нового, прогресивного та найбільш поширеного розвитку явища.

Вибір формули розрахунку середньої величини повинен враховувати такі аспекти:

1. характерну особливість суспільного явища, яке вивчається;

2. мету розрахунку середньої величини;

3. визначаючий показник і його математичне вираження, яке є основою для осереднення сукупності явища.

Критерієм розрахунку середньої величини є правильний вибір початкової бази обчислень, яка відображає зміст серед­ньої величини та її зв'язок з іншими показниками.

Розрахунок середньої величини повинен бути підпорядко­ваний економічному змісту явищ, тобто треба, щоб він рваль-нр відображав істотну /дійсну/ характеристику осереджува-ного їх рівня.

Проста середня - це початковий момент для розрахунку будь-якої середньої величини, яку розраховують за форму­лою

де: х- окремі варіанти осередненої величини; п - кількість варіантів.

Від розрахунку простої середньої арифметичної до зваже­ної переходять шляхом об'єднання в групи однакових зна­чень. Як ваги використовують числа /частоти/ або питомі ваги /частості/, які враховують значення величини ознаки ./варіанта/ окремої одиниці сукупності.

При наявності у вихідних для розрахунків середньої величини даних частот розрахунок також здійснюють з ура­хуванням економічного змісту розрахункових величин за формулою середньої арифметичної зваженої:

Добуток xf у чисельнику формули являє собою економічно усвідомлений результат.

Середню гармонічну використовують для узагальненої характеристики ознаки тоді, коли відомі окремі значення досліджуваної ознаки і обсяги явищ, а частоти невідомі. Її формула має такий вигляд:

, де

n –кількість варіантів.

На практиці частіше застосовують середню гармонічну зважену, формула якої має такий вигляд:

, де

w – обсяг явищ.

Середню геометричну використовують для обчислення середніх темпів зростання, тобто коли загальний обсяг явищ становить не суму а добуток ознак. Її визначають:

.

Середню квадратичну використовують для оцінки варіації ознак, а також для узагальнення ознак, виражених лінійними розмірами яких-небудь площ (для розрахунку середніх діаметрів стовбурів дерев, листків, кошиків). Її визначають за такими формулами:

– проста;

– зважена.

Крім степеневих середніх величин, у статистиці застосо­вуються описові характеристики ряду розподілу ознаки — мода (Мо) і медіана (Ме).

Модою у статистиці називають величину ознаки варіанти, котра найчастіше зустрічається в сукупності. У інтервальних рядах розподілу моду визначають за такою формулою:

,

де х₀ – мінімальна межа модального інтервалу, і – розмір модального інтервалу, f₁ – частота інтервалу, що передує модальному, f₂ – частота модального інтервалу, f₃ – частота інтервалу, що стоїть за модальним.

Медіана – це варіанта, що стоїть у середині рангованого ряду і поділяє його навпіл, тобто ряду, розташованого у порядку зростання або спадання варіантів.

Медіана в інтервальному ряду розподілу визначається за формулою:

Ме= ,

де х₀ – мінімальна межа медіанного інтервалу; і- величина медіанного інтервалу; - напівсума частот (половина одиниць сукупності); S_Me-1- сума накопичувальних частот, що стоять перед медіанним інтервалом; f_Me – частота медіанного інтервалу.

У статистиці широко застосовується середня арифметич­на величина. Вона є найбільш поширеним видом середніх величин. Середню арифметичну визначають як відношення суми окремих значень ознаки до кількості одиниць сукупності. Розрізняють середню арифметичну просту та зважену. Середню арифметичну просту застосовують тоді, коли відомі індивідуальні значення усередненої ознаки у кожній одиниці сукупності. Середня арифметична зважена обчислюється, коли окремі значення усередненої ознаки повторюються у досліджуваній сукупності неоднакове число разів, а зважування в цьому випадку проводять за частотами, які показують скільки разів повторюється певний варіант. Середня геометрична величина використовується для визначення середніх темпів динаміки значимих явищ. Середня квадратична величина застосовується при вивченні зв'язків між досліджуваними явищами та їх причинами методом ко­реляційного аналізу та ін.

Застосуємо теоретичний матеріал до нашого проектного завдання і розрахуємо прості середні величини.

Дані для розрахунку середнього рівня в інтервальному ряду розподілу за кількістю реалізації наведено в таблиці 2.6.

Таблиця 2.6

Розрахункові дані для обчислення середньої за кількістю реалізації і, тис. тонн.

№	Групи за кількістю реалізації, тис.тонн.	f	f ‘	x	xf	Відхилення від умовного початку
І	120,5-183,4	8	8	151,95	1215,6	0	0
ІІ	183,4-246,3	4	12	214,85	859,4	1	4
ІІІ	246,3-309,2	5	17	277,75	1388,75	2	10
ІV	309,2-372,1	4	21	340,65	1362,6	3	12
V	372,1-435,1	4	25	403,6	1614,4	4	16
∑	Х	25	х	х	6440,8		42

Дані для розрахунку середнього рівня в інтервальному ряду розподілу за ціною реалізації наведено в таблиці 2.7.

Таблиця 2.7

Розрахункові дані для обчислення середньої за ціною реалізації, грн.

№	Групи за ціною, грн.	f	f ‘	x	xf	Відхилення від умовного початку
І	954,6-1003,4	14	14	979	13706	0	0
ІІ	1003,4-1052,2	9	23	1027,8	9250,2	1	9
ІІІ	1052,2-1101	1	24	1076,6	1076,6	2	2
ІV	1101-1149,8	0	24	1125,4	0	3	0
Продовження таблиці 2.7
V	1149,8-1198,4	1	25	1174,1	1174,1	4	4
∑	х	25	х	х	25206,9	х	15

Розрахуємо середню арифметичну двома способами.

Для кількості реалізації молока

1) =6440,8/25 = 258 тис. тонн

2) , А=151,95,

Для ціни реалізації молока

1) =25206,9/25 = 1008 грн

2), А=979,

Отже, ми пересвідчилися, що розрахунок середньої двома способами дає однаковий результат. Середня кількість продажу молока становить 258 тис. тонн, а середня ціна реалізації дорівнює 1008 грн за тонну.

Розрахуємо описові середні – моду і медіану.

;

Для кількості реалізації молока

_{Для ціни реалізації молока}

За даними розрахунків нами встановлено: по кількості реалізації мода дорівнює 162,4 тис. тонн, це означає, що саме це число найчастіше зустрічається в даному варіаційному ряді, медіана дорівнює 252,6 тис. тонн і означає, середину даного варіаційного ряду.

За ціною встановлено моду 990,6 грн, медіану 998,2 грн.

Середні величини дають узагальнюючу характеристику сукупностей за якою-небудь варіюючою ознакою. Просто при тому самому середньому значенні досліджуваної ознаки окремі сукупності істотно різняться між собою за складом і величиною відхилень від середньої. Вивчення розміру відхилень та їх розподілу використовують для оцінки однорідності сукупності, чим менша ступень коливання ознаки, тим одно рідніша сукупність.