Контрольні питання.
1. Що означає формальний запис
,
де
- вектори лінійного простору?
2. Як утворюється матриця, що характеризує лінійну залежність однієї системи векторів від другої?
3. Які властивості співвідношення?
4. Означення еквівалентних систем векторів.
5. Означення максимальної лінійно незалежної підсистеми системи векторів.
6. Означення бази системи векторів.
7. Як пов'язані вектори системи із базою системи?
8. Як пов’язана система векторів із своєю базою?
9. Означення рангу системи векторів.
10. Як пов'язані ранги еквівалентних систем?
11. Означення базису лінійного простору.
12. Означення вимірності лінійного простору.
13. Чи один базис з лінійному просторі?
14. Чи залежить вимірність від обраного базису?
15. Означення координат вектора. Чому дорівнює вимірність Rn?
16. Означення рангу матриці.
17. Як пов'язані ранги системи рядків і системи стовпчиків у матриці?
18. Чи може система векторів з Rn, яка складається з т векторів, мати ранг, що дорівнює m при т > п?
19. Чи може ранг системи з 5 поліномів ступеню не більше 2 дорівнювати 4?
20. Як обчислюється вимірність лінійної оболонки системи векторів з Rn ?
Вправи до виконання.
1. Довести, що системи векторів
та
еквівалентні.
2. Довести, що система поліномів
та
еквівалентні.
3. Знайти матрицю, що характеризує лінійну залежність системи матриць
від
.
4. Знайти матрицю залежності системи поліномів
від системи поліномів
.
5. Довести, що система векторів з Е3
та
еквівалентні.
6. Довести еквівалентність систем векторів
та
7. Довести, що система векторів
буде максимальною лінійною системою векторів в системі
.
8. Знайти базу в системі матриць
.
9. Знайти базу в системі поліномів
/
10. Обчислити ранг системи матриць
.
11.Знайти вимірність і привести приклад базису в лінійному підпросторі
£ = {
Rn :
}.
12.Знайти вимірність і привести приклад базису в лінійній оболонці поліномів
.
13. Знайти вимірність і привести приклад базису в лінійній оболонці матриць
.
14. Довести, що система ковекторів
може бути базисом в R4.
15. Довести, що система поліномів
.
є базис
.
16. Навести приклад базису і обчислити вимірність M23.
17. Навести приклад базису і обчислити
вимірність
.
18. Навести приклад базису і обчислити вимірність M35.
19. Обчислити вимірність і привести
приклад базису в множині симетричних
квадратних матриць n
– того порядку
.
20. Обчислити вимірність і привести
приклад базису в множині кососиметричних
матриць n – того
порядку
.
21. Обчислити ранг матриці
А =
.
22. Обчислити dim , якщо
.
23. Обчислити ранг матриці
.
24. Обчислити dim
,
якщо
.
25. Обчислити dim
,
якщо
.