Експотенційна функція та її модифікації

Параметри a₀, a₁, a₂ ….a_p мають конкретну інтерпретацію, що залежить від змісту процесу, який описується часовим рядом. Зокрема, а₁ характеризує швидкість зростання, а₂ – прискорення зростання, а₃ – зміну прискорення зростання.

Поліном другого порядку описує рух із рівномірною зміною прискорення як в додатному, так і в протилежному напрямку. Характерним для таких економічних процесів є рівноприскорене зростання або спад їх розвитку.

Експотенційна функція описує процес із сталим темпом зростання і з сталим темпом приросту. Якщо , то крива зростає із збільшенням t, а при - спадає.

Процеси, які характеризуються насиченням, описуються модифікованою експонентою .

Вибір кривої, як правило, відбувається за згладженим рядом. Існує декілька підходів до вибору форми кривої:

1. Візуальний (графічний) тобто вибір форми тренду на основі графічного зображення динамічного ряду. На результат вибору впливає масштаб графічного зображення.

2. За критерій вибору форми тренду беруть суму квадратів відхилень значень рівнів від розрахункових, визначених на основі вирівняного ряду. Вибирають таку функцію, де така сума є найменшою.

3. Метод послідовних різниць, згідно із яким обчислюється перший, другий та вищі порядки різниць рівнів часового ряду:

Обчислення проводяться доти, поки різниці не будуть майже однакові. Якщо різниці першого порядку майже рівні, то процес отримують прямою. Якщо різниці другого порядку - то поліном другого степеня, якщо різниці третього порядку майже рівні, то процес описується поліномом третього степеня і так далі.

Параметри кривих зростання можна визначити за допомогою МНК

Згідно з цим методом необхідно розв’язати систему нормальних рівнянь, яка може мати різну кількість рівнянь в залежності від кількості параметрів кривої зростання.

Наприклад, для кривої отримаємо систему

Для спрощення розрахунків можна використовувати метод умовного нуля. Якщо відлік значень t перенести в середину динамічного ряду, що розглядається, то . При непарній кількості членів ряду t приймає значення … -2, -1, 0, 1, 2 …, при парній – … -5, -3, -1, 1, 3, 5 … .

Приклад

Динаміка обсягів продажу товарів наведена в табл.

Використовуючи лінійний тренд, спрогнозувати обсяги продажу товарів у 2010 році, припускаючи, що тенденції, які склались на даному ринку, сталі.

Для проведення прогнозу необхідно побудувати лінійне рівняння тренду, яке має вигляд

Виконаємо необхідні розрахунки:

Складемо систему рівнянь

Отримаємо

Звідси

Отже, .

Використовуючи отримане рівняння тренду, розрахуємо прогнозне значення обсягів продажу на 2010 рік ( ):

(тис.шт.)

Отже, прогнозовані обсяги продажу товарів у 2010 році складають 61170 одиниць за умови збереження існуючих тенденцій, що склались на ринку.

9.3. Прогнозування на основі динамічних моделей

Головною метою досліджування трендових моделей є розрахунок прогнозів про розвиток досліджуваного процесу. Прогнозування часового ряду ґрунтується на методі екстраполяції, тобто спостерігаючи певну тенденцію зміни процесу в минулому продовжуємо її із заданою ймовірністю в майбутнє, при цьому припускається, що економічний показник формується під впливом багатьох факторів, визначити кожен з яких неможливо або відсутня кількісна інформація про їх рівень. В цьому випадку зміну тенденції певного економічного показника пов’язують не з факторами, а з плином часу.

Застосування методу екстраполяції, використовуючи криві зростання, базується на двох припущеннях:

1. часовий ряд справді має тренд;

2. тенденція, яка виявлена у минулих періодах, не буде мати суттєвих змін у майбутньому.

Процес екстраполяційного прогнозування за трендовими моделями складається з таких етапів:

1. попередній аналіз даних;

2. вибір найбільш ефективної моделі;

3. оцінювання параметрів моделі;

4. визначення адекватності моделі;

5. оцінювання точності моделі;

6. розрахунок точкового та інтервального прогнозів;

7. верифікація прогнозу.

Методи прогнозу залежать від горизонту прогнозу. Горизонтом прогнозу називають проміжок від моменту, для якого зафіксоване останнє експериментальне значення показника, до моменту, з яким співставляють прогноз.

Необхідно зазначити, що за допомогою трендів можна визначити лише точкові значення досліджуваного показника, проте значення цього показника для будь-якого моменту, в тому числі і прогнозованого є випадковою величиною бо на його формування впливають також випадкові фактори.

Отже, ймовірність того, що при досягненні в часі моментом, для якого виконано прогноз, дійсне значення показника буде рівнем прогнозованому, є дуже малою, майже = 0, тому є сенс говорити лише про межі, в яких буде знаходитись дійсне значення показника.

Одним із шляхів отримання таких меж є розрахунок інтервалів довіри значень прогнозованого показника.

Прогнозування поділяється на:

1. короткотермінове;

2. середньо термінове;

3. довготермінове.

При короткотерміновому прогнозуванні числові значення досліджуваного показника беруться за невеликі проміжки в минулому, а прогноз визначається на один, два вибрані проміжки в майбутньому.

Методи короткотермінового прогнозування з використанням часових рядів доцільно використовувати в таких випадках:

1. при наявності даних за проміжок часу, який не перевищує одного року;

2. при виконанні прогнозу по конкретному показнику для наступного моменту часу.

Середне і довготермінове прогнозування використовується за таких умов:

1. необхідно мати одноразовий прогноз, який в більшості випадків не треба корегувати із появою нових даних;

2. наявні щорічні дані за попередні періоди;

3. прогноз треба виконати при відносно малій кількості початкових даних;

4. прогнозується динаміка досить складного процесу.

До моделей середньо- та довготермінового прогнозування ставлять більш високі вимоги, ніж до моделей короткотермінового прогнозування. Такі моделі є більш складні, широко використовуються лінійні та нелінійні залежності, велика увага приділяється точності прогнозу

9.4. Поняття лагу і лагових змінних

Для багатьох економічних процесів типовим є те, що ефект від впливу деякого фактора на показник, який характеризує процес, виявляється не одразу, а поступово, через деякий період часу. Таке явище називається лагом (запізненням). Потреба врахувати лаг при кількісному вимірюванні взаємозв’язків між економічними показниками постає досить часто. Наприклад, необхідно врахувати лаг при визначенні взаємозв’язку між капітальними вкладеннями і введенням основних фондів, між доходами і витратами тощо. Причому вплив деяких пояснювальних змінних на залежну може проявлятися не лише через певний період часу, а й протягом певного часу, тобто лаг може складатися з кількох періодів.

Економетрична модель розподіленого лагу має вигляд

(9.4)

де - параметри моделі при лагових змінних; - пояснювальна лагова змінна; - період зрушення; - залишки.

Модель (9.4) називають моделлю нескінченого розділеного лагу, якщо для неї виконується такі умови:

1) для будь-яких k, j;

2)

3) , де w – скінчене число;

4) ;

5) .

Коефіцієнти a_j називають коефіцієнтами лагу, а послідовність а₀, а₁, а₂,... - структурою лагу. Величини w_j називаються нормованими коефіцієнтами лагу, а послідовність w₀, w₁, w₂,….. називають нормованою структурою лагу для моделі (9.4).

Моделі розподілених лагів можуть задовільно описувати процеси лише в тому разі, коли забезпечена відносна стабільність умов, в яких ці процеси реалізуються. Може йтися про стабільність відповідних індексів цін, процентних ставок за кредити, норми амортизації, термінів будівництва, обсягу та структури ресурсів.

Така стабільність далеко не завжди спостерігається для порівняно довгих проміжків часу, протягом яких формується сукупність спостережень. Це призводить до побудови узагальненої моделі розподіленого лагу:

(9.5)

де - пояснювальні змінні, значення яких характеризують поточні умови функціонування економічних систем у період t.

Складності оцінювання такої моделі пов’язані із великою кількістю параметрів та обмеженнями, накладеними на них.

9.5. Взаємна кореляційна функція

Теоретично побудову моделі з розподіленими лагами можна узагальнити на будь-яку кількість незалежних змінних. Але практична реалізація такої моделі досить важка через велику кількість факторів, обмеженість часових рядів і складність їх внутрішньої структури.

Як правило, до моделі входять такі змінні , для яких лаги обґрунтовані теоретично і перевірені емпірично. Для обґрунтування лагу чи лагів доцільно використовувати взаємну кореляційну функцію. Ця функція характеризує тісноту зв'язку кожного елемента вектора залежної змінної з елементом вектора незалежної змінної , зсунутим один відносно одного на часовий лаг

. (9.6)

Для різних значень на основі взаємної кореляційної функції можна дістати значення . Якщо =0, то маємо парний коефіцієнт кореляції.

Значення змінюються від –1 до 1. Найбільше значення за модулем (найближче до одиниці) визначає зрушення, або часовий лаг. Якщо серед множини значень є кілька, величини яких наближаються до одиниці, то це означає, що запізнення впливу змінної відбувається протягом певного проміжку часу і в результаті маємо кілька часових лагів для двох взаємопов'язаних часових рядів. Знайшовши часові лаги для визначення взаємозв'язку між економічними показниками, можна побудувати економетричну модель розподіленого лагу.

Приклад

Припустимо, що на основі двох взаємозв’язаних рядів, які характеризують чисту продукцію і капіталовкладення обчислені значення .

В цьому випадку найбільше значення взаємної кореляційної функції = 0,92. Воно відповідає двом значенням τ={3;4}. Це означає, що найбільший вплив капіталовкладень на обсяг чистої продукції слід очікувати на 3 і 4 роках. Для наочного зображення часто використовують графіки взаємної кореляційної функції, які називаються корелограмами.

Рис. 9.2. Корелограма

Отже, між капітальними вкладами і чистою продукцією існує часовий лаг 3 та 4 роки. На даному проміжку слід очікувати найбільшого приросту чистої продукції від початку інвестування. Динамічну модель розподіленого лагу в цьому випадку записують так:

,

де a_j – коефіцієнти лагових змінних,

y_t – чиста продукція в період t,

- капітальні вкладення в період (t - τ).

9.6. Лаги залежних і незалежних змінних. Метод Койка.

Наявність мультиколінеарності між лаговими змінними ускладнює побудову економетричної моделі із лаговими змінними. Один із способів звільнитися від мультиколінеарності - це ввести такі коефіцієнти при лагових змінних, які б мали однаковий знак і для них можна було б знайти суму. В цьому полягає основна ідея методу Койка.

Метод Койка використовується в тих випадках, коли з точки зору економіки факторна змінна має нескінченну лагову структуру і лагові параметри регресії володіють однаковим законом зміни.

Запишемо регресію з лагами

(9.7)

Припустимо, що

. (9.8)

Тоді запишемо

(9.9)

На всі ваги накладаються такі обмеження:

1. 

2. ;

3. послідовність ваг утворюють геометричну прогресію.

називаються нормованими коефіцієнтами лагу. Через В позначили оператор зсуву, для якого виконується умова:

(9.10)

Оскільки послідовність ваг є геометричною прогресією, то

(9.11)

Тоді запишемо

. (9.12)

Тепер можна записати регресію у вигляді

(9.13)

Зробимо певні перетворення

;

;

,

або

(9.14)

Для оцінки значень та використовуємо метод найменших квадратів. Таким чином, метод Койка приводить до великих спрощень – замість багатьох параметрів оцінюються лише два параметри та .